МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Для практического решения задач массового обслуживания применяются аналитический и статистический методы испытания. Достоинством первого метода является то, что он позволяет найти аналитические зависимости для подсчета различных критериев эф­фективности. Однако не все задачи теории массового обслужива­ния могут быть решены аналитическим методом. В этом случае необходимо обратиться к методу статистических испытаний, при помощи которого можно решать любые задачи. Недостатком этого метода является то, что он связан с большим объемом вычисли­тельных работ и поэтому часто возникает необходимость исполь­зовать ЭВМ. Вследствие этого к методу статистических испытаний следует прибегать в том случае, когда задачу нельзя упростить настолько, чтобы ее можно было решить аналитически.

В табл. 10.5 представлены рабочие формулы для подсчета кри­териев различных систем массового обслуживания.

В формулах обозначено: p=Xp/s — коэффициент загрузки;

s — число аппаратов; Я — интенсивность лотока; р, о — характе­ристики длительности обслуживания.

Обслуживание летательных аппаратов на перроне. Требуется подсчитать ко­личество топливозаправщиков, которое необходимо иметь, чтобы количество ле­тательных аппаратов, заправленных за время стоянки на перроне, равное одному часу, было не менее 92,5%. Расчет производится на наиболее напряженный период суток.

Ранее было установлено, что поток требований на заправку летательных аппаратов топливом является пуассоновским, «причем в рассмотренном примере среднее число требований, поступающих за один час, равнялось десятії (т с >. = 1/6 требований в минуту) Предположим, что время заправки летатель-

— є,

« у x

ного аппарата топливом распределено по экспшеицизчъьому закону со средним значением ц=20 мин, Это соответствует системе массового обслуживания М|М|$ Нас интересует — полное время пребывания требования в такой системе (т е ожи дание летательным аппаратом заправки плюс время заправки) Из табл 10 5 находим вероятность того, что это время меньше t

Q(t)= 1-е * +

Необходимо подобрать такое минимачыюе число іуживаїощих аппаратов (топливозаправщиков! s, прв котором указанная вероятность при t, равном одному часу, была бы больше 0,925

В среднем в теченве времени одвого обслуживания (20 мин) поступает 20:6—3,3 требований Следовательно минимальное количество аппаратов, при котором пропускная способность обслуживающей системы выше интенсивности потока требований, равна четырем При этом коэффициент загрузки равен.

А

Подсчитаем вероятность Q{t) при t, равном 60 мим, и s, равном 4 Для этою предварительно найдем (I — Rc) и Р0 В соответствии с табл 105 имеем

р'<>=——————————— h————————— г «л

(0,83 Х4)< — г, (0,83 Х4У

41 0,17

(0,83X4)4

Поэтому Q (60) = 1 — е

Таким образом, прн иалнчии четырех топливозаправщиков в среднем 22,5% лега тельных аппаратов не будут заправлены в срок Поэтому необходимо иметь

не менее пяти топливозаправщиков В этом случае р—0,67, Pq = —,

Q (60) «0,93.

Следовательно, для того чтобы з среднем оіе — менее 93% летательных аппа­ратов были заправлены в срок, достаточно иметь пять топливозаправщиков Если расчет вести по среднеарифметическим значенням, то получается четыре топливозаправщика, и при этом почти © три раза увеличится число летательных аппаратов, которые не будут заправлены в срок.

Аналогичным образом можно подсчитать потребное количество других средств аэродромной механизации, технических перроных бригад и т д

Определим средний календарный простой летательных аппара­тов — на техническом обслуживании г (т. е. среднее время пребыва­ния требования в системе) при следующих условиях. —“0,25,

обслуживание производится круглосуточно, время обслуживания и интервалы между поступлениями летательных аппаратов распре­делены нормально.

4(1—0,83)сп 4-0 83у,4-1 20 *

167

Система	ВЄ]ЮЯТНОСТЬ того, что в системе нет требований на обслуживании Р0	Вероятность того, что в системе находится п требований на обслужи­вании (й > 0) Рп
М | М | S	1 (р*>* у (р*У S|(’-P> /“о а	(р s)n Р0.——— ;—— при 0 <£ П < S п п Р"*" Р———- — при п > S S1
М | GI оо	е~*х
Ml С/11	1 — р
DMr	1 —р	р (1 — е~!1°) е-*”-1)!’»

Система	Вероятность того, что время ожидания начала обслуживания меньше t (/>0 )./?«)	Среднее время ожидания начала обслуживания Т
	-«О-») ,
		Рьц pV ‘ sl(i-P)2
М 1 GIJ оо	1	0
М! 1		20-й (**+J.

Среднее число требований на обслуживании в системе nQр

Вероятность того что требованию не придется ожидать начала обслужи аания У?0 Г, (sp)1 РоР si 0-fX +pS рРо ,(Sp)5 s! (1 _ р)2 і р0 (ps)’ Sl(l-p) {лХ 0 1 рс2 + 2ц2 _ р|х— Рг, 1 — р Р 2 0-Р)Р2 2(1-6) V"1 6^ Р е~Уо 1—e~v° Р 1— е~у°

Продолжение табл 105

Веройтнесть того, что полное время I нахождения требования в системе I Среднее время пребывания меньше или равно /, і требования п системе, ч

(СО

 

1-е »

pq2 + 2р2 — pji?

2Q-P)E

1 __ е-У*

Уо — действитель­ный положительный корень уравнения

1-г-» р=—"—

Исследования показали, что справедлива следующая прибли­женная формула. 0,064 —j.

Например, если среднее время обслуживания самолета равно 8,5 ч, а средний интервал между поступлениями— 10 ч, то коэффи­циент загрузки р и календарный простой г соответственно равиьг

Предположим, что нормативный календарный простой составляет 9 ч Каким должно быть непосредственное время обслуживания, чтобы фактический простой не превышал нормативного? Подсчет по приведенной формуле доказывает, что р «е должно превышать 7,5 ч (при этом р=0,75). Исходя из этого может быть определена численность персонала, занятого периодическим техническим обслу­живанием летательных аппаратов.

При подсчете потребной численности технического персонала стремятся обеспечить максимальную загрузку работой этого пер­сонала, т. е. стремятся сделать коэффициент загрузки р как можно большим. Однако с увеличением коэффициента нагрузки резко рас­тут и простои летательных аппаратов на обслуживании.

Например, в рассмотренном примере при коэффициенте р=0,75, средний календарный простой иа одном обслуживании г равен 9 ч, а при р = 0,85 уже равен 11,1 ч. Будем исходить из семичасового. рабочего дня. При этом если в, результате увеличения численности персонала произойдет уменьшение отдачи рабочего времени каждого исполнителя с 7X0,85—5,9 ч до 7×0,75 — 5,2 ч, т е иа 0,7 ч, то одновременно с этим простой каждого летательного аппарата умень­шится. на 2,1 ч.

Использование теории массового обслуживания при определе­нии численности персонала позволяет учитывать как степень за­грузки исполнителей, так и простои летательных аппаратов на об­служивании.

Снабжение запасными частями и агрегатами. Из теории надеж­ности известно, что поток отказов и неисправностей, которые обра­зуют требования на такой вид обслуживания, как ремонт, является пуассоновским. Предположим, что неисправные агрегаты отправ­ляются на ремонтный завод. В этом случае процесс обслуживания заключается в ремонте и транспортировке неисправных агрегатов из эксплуатационного предприятия на ремонтный завод и обратно Оказывается, что для решения задачи неважно, каким будет рас­пределение времени, необходимого для такого обслуживания. Оно может быть произвольным (символ GI).

Обычно ремонтный завод обслуживает много эксплуатационных предприятий и имеет большие производственные мощности. Поэто­му удельная доля агрегатов, посылаемых в ремонт одним эксплуа­тационным предприятием, невелика и, как правило, колебания в количестве этих агрегатов практически не оказывают влияния на быстроту их возвращения. Следовательно, можно считать, что чис­ло обслуживающих аппаратов на ремонтном заводе как бы беско-

нечно (по отношению к одному эксплуатационному предприятию). Поэтому рассматриваемый случай соответствует системе A4G/oo Наличие в такой системе п требований на обслуживание соответст­вует’ наличию п неисправных агрегатов, которые находятся в про цсссе транспортировки или непосредственно на ремонте

По табл 10.5 находим вероятность Рп того, что в произвольный момент времени в системе имеется п требований

п’

где Я — среднее число агрегатов, отходящих в ремонт за единицу времени; ц, — средняя продолжительность ремонта и транспор­тировки одного агрегата

Если имеется запасной фонд Я агрегатов, то простой лета­тельных аппаратов из-за отсутствия запасных агрегатов произойдет тогда, когда число неисправных агрегатов п (т е. требований в си­стеме) будет больше значения к. Следовательно, вероятность про­стоя Рщ, в произвольный момент времени будет равна сумме вероят­ностей Рп для всех п, больших к:

р. р= у *.=1-2 р"=1~ 2

rt—ft+1 П—о п-0

Рассмотрим пример Одна замева «насоса ПНВ-2 происходит в среднем через пять суток (>,=0,2). Среднее время, необходимое для ремонта и транспор тировки насоса до ремонтного завода и обратно, составляет 20 дней Сколько необходимо иметь запасных «асосов, чтобы вероятность простоя летательного аппарата из-за отсутствия насосов ПНВ-2 не превышала 0,01?

Если имеется всего один запасной масос, то вероятность простоя в произ­вольный момент времени будет.

1

t20 0.2)"*-20 0,2 *

При двух запасных насосах ЯЩ)=0,761. Увеличивая последовательно число запасных агрегатов ft па единицу и вычисляя при этом вероятность простоя, определим то (минимальное значение ft, при котором Рар меньше 0,01 В рассмат­риваемом случае это произойдет при fc=10. Действительно,

10

Рпр= 1 — ^ ~ (20-0,2)пё-20’°’2 = 0,008.

«Я

Следовательно, необходимо иметь 10 запасных масосов. Сравним это с тем результатом, к которому привели бы расчеты по среднеа-рифмешческш значе­нням. Средняя длительность транспортировки и ремонта неисправного насоса — составляет 20 дней. За это время в среднем выйдут из строя еще четыре насоса, т. е. получается, что всею необходимо иметь пять запаоных насосов. При этом условии вероятность простоя летательного аппарата будет:

5

Я„р = 1 — ^ — (20-0,2)V° 2 20 = 0,220.

Ряс 10.6. Сетевой график технического обслуживания ‘Самолета Ту-134А по фор­ме А (в кружках: слева — ранний срок наступления событий, справа — поздніій срок)

Итак, при пяти запасных насосах ПНВ-2 вероятность того, что будут иметь место простои летательных аппаратов, очень велика Таким образом, расчет по среднеарифметическим значениям приводит к грубым ошибкам.

Приведенные примеры показывают, что теория массового обслу­живания позволяет успешно решать ряд задач по улучшению орга­низации и планирования технического обслуживания летательных аппаратов.