ОПТИМИЗАЦИЯ ТРЕБОВАНИИ К НАДЕЖНОСТИ СОСТАВНЫХ ЧАСТЕЙ И ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ

После того как найдены оптимальные по какому-либо критерию выходные показатели системы эксплуатации ЛК, в том числе показатели надежности Р(тс), Р(тл. с), Р(тп), Р(тпл), Р(т3), возникает задача распределения требований к этим показателям между составными частями и основными элементами ЛК, разрабаты­ваемыми различными фирмами. Такую задачу решают на стадии раз­работки ТТ к ЛК или ТЗ на составные части и основные элементы при эскизном проектировании. (В этом параграфе составные части и основ­ные элементы ЛК для сокращения будем называть элементами комплек­са.)

В подобных задачах ограничение на время разработки или созда­ния элементов ЛК обычно не является существенным и может быть опущено. Тогда, учитывая основное ограничение, задачу можно сфор­мулировать так: обеспечить в целом для ЛК или системы его эксплуа­тации ^требуемое значение выходного показателя при минимуме «за­трат на разработку или создание элементов.

Рассмотрим задачу применительно к перечисленным выше пока­зателям надежности ЛК, которые представляют собой вероятности

безотказного функционирования ЛК на различных временных интер­валах (см. § 3.1, рис. 3.1). При разработке ЛК в соответствии с про­цедурами, описанными в § 2.5, составляют структурные или структур­но-функциональные схемы надежности для каждого из рассматривае­мых временных интервалов. На основе этих схем любая из перечислен­ных вероятностей безотказного функционирования, которые далее для упрощения записей обозначим через Р, при условиях, оговорен­ных в § 2.5, могут быть представлены зависимостью

к

Р = п Р„ (7.49)

i=i

где Pi — соответствующий показатель г-го элемента ЛК.

Выражение (7.49) определяет основное ограничение задачи. Для получения целевой функции необходимо найти связь между суммар­ными затратами на разработку ЛК и оптимизируемыми показателя­ми Pt.

Анализ затрат на разработку ЛК км. (6.20)] показывает, что стои­мость разработки в основном складывается из затрат на создание и разрушающие испытания образцов элементов при наземных автоном­ных и комплексных, а также при летных испытаниях. Так, например, стоимость разработки системы управления ЛК будет пропорциональ­на количеству опытных комплектов аппаратуры, испытанных авто­номно и комплексно в наземных условиях и поставленных для летных испытаний ЛК. С учетом этого полагаем, что суммарные затраты на разработку можно представить как сумму затрат на разработку эле­ментов ЛК:

0>.р = 2 0>.р «> (7.50)

/=і

а стоимость разработки 1-го элемента -— пропорциональной числу щ опытных образцов, необходимых для его отработки:

Qj. p і = Сіопі > (7-51)

где Сі о — удельная стоимость разработки t’-го элемента, приходящая­ся на один опытный образец.

Чтобы связать число опытных образцов щ с показателем надежности t’-го элемента ЛК, используем полученную ранее модель (4.63) изменения надежности от числа испытаний, в ходе которых про­водят доработки. При этом счи­таем, что каждое испытание пІ7 будь то автономное паі, комп­лексное пКІ или летное плі, дает дополнительную информацию об источниках отказов и после проведения соответствующих до­работок способствует росту на­дежности объекта испытаний.

Такой подход соответствует использованию обобщенной и осреднен — ной зависимости РДпг), показанной на рис. 7.3 сплошной линией, вместо роста и падения функции надежности на каждом этапе отра­ботки (пунктирные линии).

Используя модель изменения надежности (4.63), можно записать: Pi («г) = Pi» — (Рісо — Рі0) е~Эг"г, (7.52)

где PiCD, Рі о, Зі—соответствующие параметры модели роста надеж­ности t-го элемента в процессе опытной отработки.

Решая (7.52) относительно лг, получим

(7.53)

Подставляя (7.53) и (7.51) в (7.50), найдем искомую целевую функ­цию в виде

(7.54)

Таким образом, задача оптимизации требований к показателям надежности элементов ЛК может быть сформулирована следующим образом: найти такие значения требуемых показателей надежности Рг элементов ЛК, при которых надежность комплекса в целом была бы не ниже требуемой Ртр, а затраты на разработку ЛК были бы мини­мальны.

Математическая постановка такой задачи при сделанных допуще­ниях в соответствии с (7.49) и (7.54) принимает вид

(7.55)

Pio<pi< pt°° (»’= І. 2,… , к).

Постановка (7.55) относится к задачам нелинейного программиро­вания. При заданных значениях Ci0, Piao, Pio, Ртр целевая функ­ция и функции ограничений выпуклые, т. е. получена задача выпук­лого программирования.

Заметим, что ограничение Pjo<C Pr< Р^ учитывается аналити­ческой формой целевой функции (существуют натуральные логарифмы только положительных чисел, больших нуля), поэтому его можно ис­ключить из постановки задачи. Далее, неравенство в основном огра­ничении^, из-за выпуклости целевой функции и функции ограничений, а также по физическим соображениям можно заменить строгим равен­ством. Действительно, невозможно обеспечить показатель надежности

ЛК больше требуемого при затратах меньших, чем нужны для обеспе­чения ровно требуемой надежности.

Для дальнейшего поиска аналитического решения задачи (7.55) линеаризуем ограничение

к

п Pt = РТр; (7.56)

i= I

так как обычно Ртр > 0,85, то в этих условиях справедливы прибли­женные зависимости

1пРг« — (1—Рг); 1пРтргь;— (1 — Ртр). (7.57)

Прологарифмируем выражение (7.56), произведем в нем замену (7.57) и получим:

(

k k k

п Pi =SinP,»-S(i-/,i); іпРор» —(і —Рхр),

i=l / i=1 t’=l

откуда ограничение (7.56) принимает вид

k

2 (1-Pf)«l—Ртр. (7.58)

г=і

Ошибка после линеаризации ограничения (7.56) тем выше, чем меньше величины /г и Ртр. При k = 2 и Ртр == 0,9 оишбка составляет 0,8% от 1 — Ртр или 0,07% от Ртр; при k = 2 и Ртр = 0,8 — соответ­ственно 4 и 0,7%.

Таким образом, с учетом сделанных допущений и упомянутых выше соображений в соответствии с (7.55) и (7.58) окончательная по­становка задачи такова:

В задаче (7.59) функция ограничения — линейная, а целевая функ­ция — выпуклая, поэтому необходимо решить задачу выпуклого про­граммирования. Так как ограничение задано в виде равенства, то за­дачу решают обобщенным методом неопределенных множителей Лаг­ранжа.

В соответствии с (7.59) функция Лагранжа

где С(о = Сі0/9і, X — неопределенный множитель Лагранжа. Необходимые условия экстремума функции (7.60) следующие:

Решения системы (k + 1)-го уравнения (7.61) — искомые оптималь-

л

ные значения Рг.

Pi*, — Pi

Получим систему (7.61) в явном виде. В соответствии с (7.60)

Рі=Рі~—i~~ Г(і—pTP)—s (і

2 c;o L

і 1

Пін’дем новые обозначения:

Ощ /1 Qо = Q0; (1 — Ртр) = QTOn; 1(1-
/ 1=1 1=1

при них (7.67) принимает вид

Pi = Pico — С,’0 (Q;ion — Q*,). (7.69)

л

І Іроанализируем полученное решение. Оптимальное значение Р* іміїїоііііо зависит от разности между допустимой QHon вероятностью отказа ЛК и предельно малой вероятностью его же отказа Qx, возмож­ном при весьма длительной опытной отработке ЛК (все щ = оо).

л

Оптимальная надежность Рг элемента ЛК при заданных величинах Р,*,, Q. n<:u и Qco определяется величиной Сіо, которая представляет

k __

собой нормированное (отнесенное К общей сумме yjPi 0) отношение

1=1

удельной стоимости отработки Pro элемента Сго к показателю эффек — пшпости его опытной отработки 3t. Вспомним, что показатель Эг в соответствии с (4.69) характеризует прирост надежности после одного испытания. Тогда величины Cio определяют относительную нормиро­ванную стоимость повышения надежности Pro элемента ЛК.

л

Таким образом, оптимальное значение требуемой надежности Рг линейно зависит от относительной нормированной стоимости повыше­ния надежности данного элемента при его отработке, т. е. чем дороже обходится повышение надежности, тем ниже должно быть требуемое се значение при выполнении требований к надежности ЛК в целом.

Для случая, когда все Ріаз = 1 (Qa>= 0), выражение (7.69) упро­щается:

Рг = 1 —СІо (1 — /„) = 1 — Ci0Qmu. (7.70)

Легко заметить, что, используя модель (7.52) изменения надеж­ности Pro элемента ЛК и соответствующее ей выражение (7.53), можно

А Л

но оптимальным значениям Рг — найти и оптимальное число пг необхо­димых опытных образцов Pro элемента:

І Іроиллюстрируем решение рассмотренной выше задачи примером.

Пример 7.2. Пусть известно, что при расчете показателя Р(тп) летатель­ный комплекс можно представить структурно-функциональной схемой надеж­ности, включающей в себя пять последовательно соединенных элементов, каждый из которых характеризуется следующими параметрами: Piоо = 0,99; Э(=0,1; С = 1,0; Сж = 1,5; С30 = 2,0; С40 = 2,5 и Сзд = 3,0 уел. ед. Требуется най-

k

ти оптимальные значения Рг(тп) = Pit при которых П Р,-(т„) = Ргр(тп) =

/= 1

= 0,90.

В соответствии с (7.68) и исходными данными имеем:

5

<2^ = 2 (1 -0,99) =0,05; QnoiI = 1-0,90 = 0,10;

І=1

Cjo = 1/0,1 = 10; С20 — 15; Сзд = 20; С4Р = 25; С^о — 30;
с;0= 10/(10+ 15 +20+ 25+30) =0,10; С^ = 15/100 = 0,15;

Сзд = 0,20; С’0 = 0,25; Сзд = 0,30.

На основании зависимости (7.69) оптимальные значения следующие:

Л Л

Р4 = 0,99 — 0,10 (0,10 — 0,05) = 0,985; Р2 = 0,9825;

Р8 = 0,9800; Р4 = 0,9775; Р6 = 0,9750.

На рис. 7.4 показаны графики прямых (7.69) и оптимальные значения Pt для исходных данных этого примера.

При решении задачи в качестве критерия оптимальности был при­нят минимум расходов на разработку ЛК, однако полученное решение

справедливо при любом эконо-

k

мическом критерии С =

і=і

который связан с показателями надежности элементов ЛК вы­ражением типа

Сі — ан In [а2іІ(азі — Рг)], (7.72)

где аи, a2i, аЗІ — постоянные для t-ro элемента коэффициенты.

Следует отметить, что выра­жение (7.72) характерно и для функций вида Сі(Рі).

Задача может быть распро­странена на любой выходной по­казатель системы эксплуатации ЛК, для которого справедливо ограничение 4

і(1 — у.)=-у (7.73)

/=1 р

і це Ці — соответствующий показатель t’-ro элемента ЛК; у? р — требуе­мое значение показателя у.

И заключение заметим, что при решении задач в § 7.2 и 7.3 оптималь­ные значения тех или иных характеристик определялись относитель­ными затратами на их обеспечение (повышение), поэтому при разра­ботке требований к ЛК и его системе эксплуатации в целом в первую очередь необходимо искать возможные диапазоны изменения выход­ных характеристик и оценивать относительные затраты на их повыше­ние.