Метод оптимального планирования экспериментальной отработки ЛА
Анализ выражений (3.3), (3.4), (3.12), связывающих эффективность, достигнутую в процессе экспериментальной отработки, со временем и стоимостью испытаний, показывает, что время, стоимость и эффективность зависят от большого числа факторов: a Kt (і =
= 1,…, N). Поэтому решение задачи оптимизации в общей постановке сопряжено с рядом вычислительных трудностей и может быть получено приближенно численными методами.
При решении практических задач планирования опытной отработки целесообразно производить декомпозицию общей задачи на ряд частных с последующей координацией полученных решений. Такой подход является рациональным с организационной точки зрения. Действительно, опытная отработка на различных уровнях сборки ведется обычно различными предприятиями. Централизованное планирование всего процесса экспериментальной отработки, начиная с
элементов и кончая изделием в целом, затруднительно и не обеспечивает возможности гибкого управления этим процессом. Поэтому целесообразно определить некоторые узловые точки, обеспечивающие оптимальные свойства комплексной программы испытаний в целом и являющиеся исходными данными для более детального планирования отдельных этапов этой программы.
Для нахождения таких контрольных точек используем метод иерархической оптимизации, основанный на анализе динамики эффективности. На основе этого метода при заданных моделях динамики эффективности для каждого уровня испытаний и общей требуемой эффективности изделия определим оптимальные требования к эффективности для каждого уровня испытаний. При этом в качестве моделей динамики эффективности при проведении оптимизации будем использовать различные модели, такие как экспоненциальная, логистическая и др.
Приведенный выше анализ иерархической модели испытаний позволяет записать модели динамики эффективности по времени и стоимости на каждом /-м уровне испытаний в виде
Щ (х,) = щ — (в/ — Ww )ехр{—0,т, };
Щ (Д С, ) = fy — (bi — W0і ) exp {-*, Д Q },
где /о/ — т/ ^ hi+h АСЬ/ ^ АС/ < ДС0/+і; Д/, ty — предельные значения эффективности для /-го уровня испытаний; W§ — начальное значение эффективности на /*-м уровне испытаний; 0/, Kt — показатели роста эффективности соответственно по времени и стоимости на /*-м уровне испытаний; /о/, А О)/ — соответственно время и стоимость к началу /-го уровня испытаний.
При этом в соответствии с приведенной в тексте спецификой различных уровней испытаний выполняются условия:
Д/ > Д/-1, Э/ <6/_b
b > bj_, К’і < К[— •
Рассмотрим постановку задачи оптимизации, когда для каждого уровня определены модели динамики эффективности. При таком подходе задача ставится следующим образом. Пусть к началу проведения испытаний, т. е. при = 0, изделие обладает некоторой начальной эффективностью Wo. Пусть в результате проведения испытаний за счет выявления и устранения дефектов проектирования необходимо повысить эффективность изделия до некоторого заданного значения W3. Известно также, что переход из состояния Wq в
109
состояние W3 осуществляется в N этапов, соответствующих N уровням иерархии испытаний. На каждом /-м этапе испытаний эффективность изделия повышается от начального значения Жц,- до
^0,41 = Wj, которое в свою очередь является начальным значением эффективности для следующего этапа.
Повышение текущей эффективности изделия в процессе испытаний происходит в соответствии с моделью динамики эффективности, характерной для данного этапа.
Будем предварительно считать, что оценки параметров модели динамики эффективности а,, 0/, bj, К і для каждого этапа являются известными. Тогда время и стоимость, необходимые для перевода изделия из состояния W0 в состояние W3, при заданных параметрах модели динамики эффективности будут определяться только положением точек перехода от одного уровня испытаний к другому, т. е. начальными значениями эффективности fV0i при / = 2,…, N. Следовательно, для достижения оптимальности всего процесса испытаний в целом нужно найти такие точки перехода, которые обеспечивали бы минимум общего времени (или стоимости) испытаний, необходимых для перехода изделия из состояния Wq в состояние fV3.
Как следует из (3.5), (3.13), общее время и стоимость складываются из времени и стоимости на отдельных уровнях иерархии испытаний, т. е. время и стоимость являются аддитивными критериями оптимальности. Кроме того, из выражений (3.3), (3.12) легко видеть, что состояние изделия на /-м уровне Wj зависит только от состояния
на (/ -1 )-м уровне Wq; и не зависит от того, каким образом изделие пришло в состояние Wqi-
Таким образом, выполняются условия для применения к задаче оптимизации метода динамического программирования. В соответствии с этим методом оптимизацию процесса испытаний начнем с конца испытаний, т. е. с л-го этапа. Обозначим критерий оптимальности на последнем л-м этапе Ф„. Обычно в качестве этой величины принимают значение частного критерия на этом шаге, например
Фя = Ъ1 •
Значение критерия Фп,…,і на последних і шагах равно т„ +… + т Величина Ф„ при заданных параметрах ап, 6„ и заданном значении W3 зависит от Щп, которое является в данной задаче управлением.
Из выражения (3.5) очевидно, что наименьшее значение
Ф* = т* = 0 достигается, когда Wq„ = W3.
Переходя к минимизации величины Фя, л-1 при найденном оптимальном Щ„, определяем оптимальное значение, которое
также будет равно W3. Продолжая пошаговую оптимизацию, находим решение для любого /-го шага: Фл 7 при — W3, і = 2,…,л, Таким образом, в результате проведенного процесса оптимизации имеем тривиальное решение: минимальное общее время испытаний равно нулю в том случае, если система после проведения испытаний на первом уровне иерархии повышает свою эффективность с
Щ ДО Wr
Однако из приведенного анализа иерархической структуры процесса испытаний очевидно, что при начальной эффективности W0 система за один шаг не может быть переведена в состояние Wy
В рассмотренном случае на область допустимых значений не накладывалось никаких ограничений. Однако такое ограничение существует, а именно — W0i должно принадлежать кривой динамики эффективности на (/-1)-м уровне. Это ограничение можно учесть, если в качестве функции Фл принять
При заданных параметрах 0Л, 0„_i, ап, ап-, W3 функция зависит только от значений Won, Щ)п-1, Т. е. Фп =Ф(Щл> Щ)п-0- В соответствии с методом динамического программирования проводим условную оптимизацию Фл в предположении, что состояние Жол_1 известно. Дифференцируя выражение (3.16) по W$n и приравнивая производную нулю, получаем условие оптимального перехода от (п -1 )-го уровня к л-му уровню:
0 л (дл “ ^0л ) = ®л-1 (дл-1 ~ Щп )* (3.17)
Проанализируем это условие. Выражение в левой части является
Таким образом, точкой оптимального перехода является точка равенства скоростей роста эффективности на (/ -1 )-м уровне в точке перехода и на 7-м уровне в начальной точке (рис. 3.8).
Для подтверждения того, что определенный экстремум является минимумом, проведем исследование соотношения (3.17). При
IV0„ < Ц$п справедливо неравенство 0Л (ап — fV0n) < Є„_і (o„_i — Щ„)-
В этом случае величина производной ЭФЛ /дЩ„ < 0. При И/0п > Wq„ соответственно ЭФЛ /dW0n > 0, 0„ (а„ — Щ„) > 0л_і {ап_ — ).
Рис. 3.8. Иллюстрация физической интерпретации точки оптимального перехода от одного уровня к другому |
Таким образом, определенный экстремум соответствует минимуму величины Ф„. Перейдем к условной оптимизации при
найденном оптимальном значении Wni = ” ~ и в предпо-
е„ — ел_,
ложении, что значение Щ„-2 известно:
Ф„ п-1 = — In °п ~ W*n + — In Дл~’ ~ + — In —п-~2 ~ ^-2
©я 0Л_! an_i — Wot Єл-2 в«-2-^0л-1
Дифференцируя Ф/|,л-1 по fVon-l и приравнивая полученную про-
изюдную к нулю, находим условие оптимального перехода от (л — 2)- го к (л -1 )-му уровню, аналогичное условию (3.17):
вл-1 (°л-1 — И’Ол-І) = ®л-2 (ал-2 — ^Оп-1 )•
В результате решения поставленной задачи получим условие оптимального перехода от любого (/ -1 )-го уровня к /’-му уровню при / = 2, …, N:
Є/(а/-^о?) = 0мКі-^о7),
|
|
|
|
Соотношения (3.17) и (3.18) имеют четкий физический смысл. Действительно, заданный отрезок траектории (W3 — Wq ) можно пройти за минимальное время, если скорость роста W при этом максимальна. Условие (3.18) как раз и обеспечивает максимальную скорость движения (рис. 3.8). Если движение начинается с некоторой
ТОЧКИ Wqi < 1Vq[ , в которой скорость движения по (/ -1 )-й кривой динамики эффективности выше, чем скорость движения по /-й кривой, то на отрезке траектории W? J — fvJ. происходит потеря времени.
Аналогичная картина наблюдается, когда wfa > WqI ■
Величина оптимального времени
Г = Ут; =Y-Linfl*-.”%.
7′ / е/ щ-И$
в/ ~ е/-1 ®/Л*/ ~ ^i-!ai- |
Условие оптимального перехода в виде равенства производных текущей эффективности предыдущего и последующего уровней получается и в том случае, когда все уровни описываются логистическими моделями роста эффективности или часть уровней иерархии испытаний описывается экспоненциальными моделями, а часть — логистическими, а также, когда показатели роста эффективности экспоненциальных моделей являются произвольными функциями времени 0/(f). Приведем условие оптимального перехода от (/-1)-го уровня к /-му уровню испытаний для случая, когда оба уровня описываются логистическими моделями. Тогда условие равенства производных в точке перехода запишется:
В случае, если модели динамики эффективности описываются экспоненциальными моделями с показателями роста эффективности в виде произвольных функций времени, условие оптимального перехода примет вид:
в/ (0(в/ — Kf) = е,-1 (0(*м — И#),
«’о/ = [в» (0°/ — е/-1 (* )а/-1 ]/[в/ (О — е/-1 О)] •
Рассмотрим теперь задачу определения оптимальных точек перехода с учетом случайного характера параметров модели динамики эффективности. Для этого заменим случайную модель динамики эффективности осредненной неслучайной моделью и будем решать детерминированную задачу динамического программирования. Критерием оптимальности выберем среднее значение времени испытаний
Т (3.7), а в качестве частного среднего критерия Фл будем рассматривать функцию
Ф„ =x„ + x„_l=J-lnan JVo»+J_ln^-i Wo„-1
% an-W3 ел_і an_i — Щп
(3.19)
Найдем условный минимум функции Ф„, предполагая, что зна-
4
чения а„, ал_ь 0Я, ёл_ь И^л-Ь W3 , а также о2 (ап), о2 (апА), ст2(0л), а2(0л_і), а2 (Щп_і), а2 ), о2 (fV3 ) известны. В этом случае функция фп будет зависеть только от среднего значения Щп.
Дифференцируя выражение (3.19) по W§n и приравнивая полученную производную нулю, получим условие оптимального перехода
от (п -1 )-го уровня к л-му уровню с учетом случайных характеристик параметров модели динамики эффективности. Это условие имеет вид:
где
в2 (оЛ-1 — Wp‘) (§„_!)
(*п — 1-С)2
Полученное условие легко обобщить для перехода от любого (/ -1 )-го уровня к /-му уровню. В результате найдем условие оптимального перехода от (/ -1 )-го к /-му уровню иерархии испытаний в виде
0/ (Щ — w;<yU = ®/-1 («/-1 — <1 )А/.
Д/ =1 +————— 5~ + —=5—»
{щ-П) 02
v О2 (0м)
А/-1 =1 +——————— 5г + ————- »
(ям — Kf) 0′-i
откуда WqI = (0, д/Д/_і — 0,_1й,_| Д/)/(в, Д/_і — 0,_іД,-) и при равной точности оценивания параметров моделей динамики эффективности на
і-m и (/ — 1 )-м уровнях совпадает с выражением WqI для детерминированного случая.
Применяя метод динамического программирования для оптимизации средней стоимости испытаний (3.14), находим аналогичные соотношения, определяющие оптимальную точку перехода с (/ -1 )-го на /-Й уровень иерархии испытаний:
|
|
Jfa-I-Wof) cr2 (Ki-i)
/ — — 2 jp2 ’
откуда
Можно показать, что условие оптимального по стоимости перехода (3.21) в общем случае отличается от условия оптимального по времени перехода (3.20). Для этого рассмотрим несколько наиболее интересных частных случаев. Для простоты и наглядности изложения предположим, что на каждом уровне иерархии предельные по стоимости значения эффективности равны предельным по времени значениям эффективности: д/ = й/, д7*_ = й/_і. Это означает, что при испытаниях применяется самое совершенное испытательное оборудование.
Предположим также, что точность оценки параметров модели динамики эффективности на всех уровнях одинакова. Тогда стоимость испытаний на каждом уровне иерархии может быть связана со временем проведения испытаний пропорциональной зависимостью:
АС/ =Ю/Т/, (3.22)
где со, — коэффициент пропорциональности.
Действительно, время испытаний можно определить как
Т/ = т }п, (3.23)
где т/ — время, затраченное на проведение одного испытания; п — число испытаний.
Стоимость также пропорциональна числу испытаний:
Д С, = с}п, (3.24)
где с/ — стоимость одного испытания.
Время, затраченное на проведение одного испытания, складывается из времени, необходимого на подготовку испытания, собственно испытания и анализа полученных результатов. Стоимость одного испытания складывается из затрат на амортизацию испытательного 116
оборудования, стоимости испытуемого образца, оплаты труда обслуживающего персонала и т. д.
Выражения (3.23) и (3.24) объясняют соотношение (3.22), где
со, = С/ /т) — удельные затраты на единицу времени при проведении одного испытания.
Подставляя условие (3.22) в выражения эффективности (3.20),
(3.21) , получим зависимость между показателем роста эффективности 0/ и Кі : 0/ = щКі.
Теперь пусть коэффициент пропорциональности со/ одинаков для всех уровней иерархии, т. е. удельные затраты постоянны для всей комплексной программы испытаний. При этом, как следует из (3.20),
(3.21) , выбор W§ обеспечивает одновременно минимум среднего времени испытаний и минимум стоимости испытаний.
Рассмотрим далее ситуацию, когда удельные затраты на (/ -1 )-м уровне испытаний выше, чем на /*-м. Тогда условие минимума по
СТОИМОСТИ требует уменьшения величины Wftf по сравнению с величиной Wq/ и определяет, таким образом, необходимость увеличения
продолжительности отработки на /*-м уровне испытаний.
Если удельные затраты на (/-1 )-м уровне испытаний ниже, чем на і-m, то для обеспечения минимума стоимости необходимо увеличить продолжительность отработки на (/ -1 )-м уровне.
И наконец рассмотрим случай, когда точность оценки параметров на (/ -1 )-м и і-m уровнях неодинакова. При такой ситуации также происходит перераспределение продолжительности отработки в зависимости от точности оценки параметров: если точность на (/ -1 )-м уровне ниже, чем на /-м, то предпочтение следует отдавать /-му уровню и наоборот.
Пример определения оптимального объема наземных и летных испытании. Для более наглядной иллюстрации методики оптимизации рассмотрим конкретный пример по определению оптимального объема летных испытаний. Разделим всю иерархию испытаний на два уровня: наземной и летной отработки изделия. Считаем, что изменение эффективности на каждом уровне иерархии подчиняется экспоненциальному закону. Считаем также, что законы динамики эффективности для каждого уровня испытаний полностью определены, т. е. заданы средние значения и дисперсии параметров, определяющих динамику эффективности на каждом уровне иерархии.
На рис. 3.9 кривая 1 соответствует росту эффективности при наземных, а 2 — при летных испытаниях. Если бы вся отработка изделия до
заданного значения эффективности W3 проводилась бы только в летном эксперименте, то для этого потребовалось бы время Т. При наземной отра
ботке скорость роста эффективности выше, чем при летном эксперименте, однако предельное значение эффективности ан меньше заданного значения W3. Поэтому для сокращения общего времени и стоимости испытаний отработку ЛА до определенного значения эффективности WQjl, соответствующего точке А, необходимо проводить на земле, а окончательную отработку до заданного значения эффективности W3 — в летном эксперименте. Определим точку перехода от наземных испытаний к летным испытаниям, соответствующую минимуму среднего времени или средней стоимости испытаний.
t
В соответствии с формулами (3.20), (3.21) получим условие оптимального по времени перехода:
где
откуда (3.25)
и условие оптимального по стоимости перехода
откуда
WoL = — *АДл)/(*лДн — ^нДл) • (3-26>
Условия (3.25), (3.26) совпадают, когда
ап = Ал> ап ~ > юл = > Ад = Ад = Ад = Ад •
При сол < ©н экономически выгодно увеличение объема летной
отработки, однако общее время испытаний при этом несколько увеличивается. Данный случай имеет место, например, при отработке сравнительно недорогих образцов одноразового действия, когда стоимость эксплуатации наземного испытательного комплекса больше стоимости летных испытаний этих изделий. При испытании дорогого
уникального ЛА, например космического аппарата, сол < ©л и основной является наземная отработка.
Таким образом, знание моделей динамики эффективности позволяет наиболее целесообразно распределить время и средства между наземной и летной отработками изделий.
Контрольные вопросы
1. Какова роль испытаний в создании изделий авиакосмической техники?
2. Как связаны между собой критерии эффективности изделий и испытаний?
3. Сформулируйте современный подход к организации комплексных программ испытаний ЛА.
4. Что понимается под эффективностью сложной технической системы?
5. Сформулируйте два упрощенных подхода к учету конструктивных отказов в практике обработки данных испытаний.
6. Сформулируйте понятия дефекта и отказа.
7. В чем заключаются достоинства экспоненциальной модели динамики эффективности сложной системы?
8. В чем заключаются достоинства логистической модели динамики эффективности сложной системы?
9. Какими составляющими определяется среднее время испытаний?
Глава 4