ПО СОСТОЯНИЮ

3.1. МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

СОСТОЯНИЕМ ПРИ КОНТРОЛЕ

ОБОБЩЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ

При эксплуатации авиационной техники решение о проведении того или иного вида технического обслуживания все чаще прини­мается на основании результатов измерения параметров, характе­ризующих работу блока или системы. Использование такой апо­стериорной информации о состоянии АС позволяет существенно по­высить эффективность их эксплуатации, в частности, повысить на­дежность при минимизации средних эксплуатационных затрат.

Одной из моделей, широко применяемых для описания эволю­ции технического состояния авиационных систем в процессе экс­плуатации, являются марковские процессы вообще и их подкласс — марковские цепи. Выбор в качестве математической модели цепей Маркова обусловлен рядом факторов. С одной стороны, модель должна быть относительно простой, чтобы можно было получить численные результаты, с другой стороны, она должна быть доста­точно гибкой, позволяющей учесть специфические особенности экс­плуатации авиационных систем. Как правило, анализ задач по ор­ганизации технической эксплуатации сводится к анализу некото­рых вероятностных моделей. Однако «… построение математиче­ской модели процесса удается лишь тогда, когда этот последний является марковским в том или ином пространстве состояний» [33]. Реализация более сложных, чем марковские, процессов тре­бует определения числовых и логических параметров, характеризу­ющих процесс в данный момент времени и достаточных для пере­хода к последующему моменту. На практике получение такой ин­формации сопряжено с большими трудностями.

Использование автоматических и автоматизированных устройств проверки работоспособности АС [53] в большинстве слу-

чаев приводит к тому, что информация о техническом состоянии систем, имеющая непрерывную структуру, преобразуется в дис­кретную. Поэтому естественно использовать аппарат марковских цепей.

Применение марковских цепей обусловлено, не только матема­тическим удобством и относительной простотой получающихся ре­зультатов, но и физической сущностью процессов, протекающих в |1 АС. Поведение больших систем со значительным числом элементов, каждый из которых имеет приблизительно экспоненциальное рас — j I пределение времени безотказной работы, может быть описано с помощью процессов Маркова [34, 48]. При анализе таких систем в. большинстве случаев различным характеристикам необходимо дать относительно грубую оценку, которая может быть получена на ос­нове первого приближения. Для многих систем такое первое при­ближение достаточно полно описывается (в целях оценки и пред­сказания надежности) на основе информации о процессе в настоя­щий момент времени. Стохастическим эквивалентом этого вида процессов являются (процессы Маркова. Необходимо также отме­тить, что обширный класс случайных процессов может быть с той или иной степенью точности аппроксимирован марковским процес­сом [33, 48]. Последнее обстоятельство приобретает существенное значение в связи с использованием для эксплуатации вычисли­тельных машин, так как при этом снижаются требования к объе­му оперативной и долговременной памяти, а также к быстро­действию.

Более общим, чем марковский, типом случайного процесса яв­ляется полумарковский процесс. Однако его большая общность при­водит к необходимости получения и большей исходной информа­ции. Так, помимо матрицы вероятностей переходов, необходимо еще иметь матрицу, каждый элемент которой представляет услов­ную функцию распределения времени пребывания в состоянии I при условии, что переход будет осуществлен в состояние /. Вместе с тем характер получающихся решений не отличается от марков­ских [16], что позволяет сосредоточить основные усилия на изу­чении марковских моделей.

Пусть работоспособность АС оценивается на основе проверки некоторой совокупности обобщенных параметров. Такая проверка позволяет оценивать состояние АС так, что после ее проведения не будет существовать узлов, блоков, отдельных устройств, состоя­ние которых не было бы известно с той или иной точностью, т. е. методическая достоверность контроля равна единице. Будем пока предполагать, что при контроле нет ошибок в определении истин­ного состояния АС, т. е. инструментальная достоверность контроля также равна единице.

Рассмотрим обобщенный параметр, на который задано поле до­пуска, разделенное на непересекающиеся отрезки—состояния 1= = 1, 2,…, F. Предполагается, что состояние с номером 1 является наилучшим с точки зрения функционирования АС, а при попадании параметра в состояние F фиксируется отказ АС. В процессе экс-

плуатадии в моменты времени t— 1, 2, 3,… параметр контролирует­ся, в результате чего становится известным одно и только одно его> состояние /«ЄІ, F. Допустим, что во времени переход из одного состояния в другое описывается стационарными вероятностями перехода т. е.

Р {It+1 — j I It — О — Яij’ С І 1» Р’

для которых выполняются естественные условия для элементов, стохастической матрицы

(3.2)

Для полноты описания параметра с учетом физического смыс­ла функционирования АС наложим на элементы вероятностей переходов некоторые дополнительные условия: 0, 1=1, F— 1,

которые означают, что при нахождении параметра в момент ( в любом работоспособном состоянии всегда существует ненулевая вероятность отказа АС в следующий момент контроля f+1; qFF= — 1 — если отказ наступил, то самопроизвольно он устраниться не — может. Кроме того, для определенности (но без потери общности) предположим, что эксплуатация начинается в момент, когда пара­метр находится с точки зрения безотказности в наилучшем со­стоянии.

Формально это условие записывается так: /э{/1= 1}= 1.

При сделанных предположениях последовательность измеряе­мых величин It, t= 1, 2,…, отражающая процесс естественного из­менения состояний АС во времени, описывается нестационарной цепью Маркова первого порядка со стационарными вероятностями, переходов (3.1) и пространством состояний 1, F.

На основе результатов проверки в любой момент времени t= = 1, 2… цринИ’.мается решение о том, что следует предпринять, относительно АС. Естественными исходами принимаемых реше­ний можно считать: сохранение наблюдаемого состояния г; изме­нение наблюдаемого состояния і на j=£i.

Реализация решений первого типа проведения работ не требу­ет. Выполнение решений второго типа предполагает некоторые ра — боты, которые будем называть предупредительными, если i<= єі, F—1 и ремонтными, если i=F. Ясно, что во всех случаях /ЄІ, F— 1, т. е. изменение состояния целесообразно производить до одного из работоспособных состояний. Отсюда следует, что со­стояние АС после осуществления работ во многих ситуациях будет случайным, поэтому возможные решения необходимо задавать в виде распределений вероятностей относительно тех состояний, ку­да обобщенный параметр переводится после осуществления вы­бранных решений.

Выбираем в качестве пространства решений класс Д, содер­жащий конечное число допустимых решений. Обозначим количе­ственное решение через Dij и допустим, что dij означает факт из­

менения состояния от і до / при условии, что в момент контроля за­фиксировано состояние і. Тогда

(3.3)

Эта запись означает, что имеется возможность принять решение Dis с некоторой вероятностью. Такие решения называются рандо­мизированными и, следовательно, класс Д содержит все возмож­ные рандомизированные правила. Введенные решения удовлетво­ряют условию

(3.4)

которое физически означает, что в каждый момент времени’реше­ние обязательно принимается.

После введения решений (3.3—3.4) процесс, характеризующий поведение параметра во времени, существенно изменяет свои свой­ства: становится управляемым и эргодическим марковским процес­сом со стационарными вероятностями переходов. Матрица вероят­ностей переходов такого процесса определяется умножением мат­рицы решения D на матрицу вероятностей переходов неуправляе­мой цепи Маркова Q, т. е. N=DQ. Соответственно элемент матри­цы N определяется как

2 QisDsj, і, j f—■ 1, F.

Свойство эргодичности приводит к тому, что появляются стацио­нарные вероятности нахождения в любом состоянии /= 1, 2,…, F. Эти вероятности удовлетворяют системе уравнений:

Перейдем к оценке затрат, производимых при эксплуатации. Для этого введем затраты на отдельные операции. На практике такие затраты представляют собой случайные величины, завися­щие от условий эксплуатации, подготовленности инженерно-техни­ческого состава, оснащенности контрольно-измерительной аппара­турой (КИА), конструктивного выполнения технических систем (определяющего ремонтопригодность) и многих других факторов. Будем оперировать средними значениями затрат и введем их сле­дующим образом.

Пусть проверка параметра (т. е. определение его состояния /) требует некоторых затрат 4,- при условии, что последнее его со­стояние было s. Обозначим затраты, связанные с принятием реше­ния dis, через Си. Для расширения возможностей по интерпрета­
ции получающихся результатов введем еще затраты типа штра­фов за пребывание в состоянии. Обозначим этот компонент через. zsj. При определенных обстоятельствах эту величину можно рас­сматривать как простой или ожидание АС в том числе и в рабо­тоспособном состоянии, что позволяет учесть влияние этого харак­терного для АС отрезка времени на критерий оптимизации. Так как процесс эксплуатации рассматривается на бесконечном интервале времени, то наиболее удобной характеристикой следует считать средние удельные затраты [7], т. е. математическое ожидание за­трат в единицу. времени. Тогда задача определения правила про­ведения восстановительных работ сводится к выбору таких реше­ний, которые обеспечат минимальное значение средних удельных затрат.

На основании теоремы о полном математическом ожидании для эргодических марковских цепей математическое ожидание затрат за один шаг

где щ, 1= 1, F удовлетворяют системе уравнений (3.5).

Первый член выражения (3.6) представляет собой математиче­ское ожидание затрат на контроль и за пребывание в состояниях /=1, F, а второй член —математическое ожидание затрат, связан­ных с принятием решения.

Определив значения М[с], получаем необходимые и достаточ­ные условия для формулировки задачи по отысканию решений. Эта задача может быть сформулирована как следующая задача мате­матического программирования: выбрать величины Dis так, чтобы значение средних удельных затрат, определяемое выражением (3.6), было минимальным при соблюдении условий (3.5), описыва­ющих эволюцию марковской управляемой цепи. Вследствие того что выражения (3.5) и (3.6) являются линейными функциями неиз­вестных Dis, Для их отыскания принципиально может быть исполь­зован алгоритм линейного программирования. Однако применение алгоритма линейного программирования для решения задачи (3.5— 3.6) пока невозможно. Это обусловлено тем, что в формулировку входят также и значения стационарных вероятностей л,, которые пока неизвестны. Для того чтобы обойти эту трудность, воспользу­емся идеей, предложенной в работе [82].

Введем обозначение

а система ограничений (3.5) преобразуется как

s 1 і 1 s 1 F F

(3. 9)

так как зт,- — V xis.

Формулировка (3.8—3.9) может быть использована непосредствен­но при решении задачи определения оптимальных решений Dis и значения по найденным переменным Хи определяются по формуле

(3. 10)

которая непосредственно вытекает из выражения (3.7) после под­становки в. него значения для щ.

Здесь необходимо отметить одну особенность получающихся ре­шений. Выше ‘был введен, в рассмотрение общий класс рандомизи­рованных решений Д. Однако в [79] показано, что при наличии ог­раничений типа (3.5) решения можно искать в частном подклассе Д’, который характеризуется тем, что Dis принимают значения ли­бо 0, либо 1, т. е. являются нерандомизированными. Поэтому мат­рица получающихся решений (3.10) будет содержать только эле­менты 1 и 0.

Рассмотрение выражения (3.8) позволяет выделить несколько практически важных частных случаев.

Пусть затраты на контроль зависят только от состояния /, т. е. tsj=tj, а штраф имеет вид:

z0, j=F

Zs) О, У=1, F-.

Этот частный случай применительно к АС можно интерпрети­ровать следующим образом. Затраты на контроль (особенно при ручном использовании КИА общего применения) могут меняться в зависимости от того, в каком состоянии оказался оцениваемый параметр. Это обусловливается, например, таким фактором, как необходимость более тщательного анализа состояния по мере при­ближения параметра к границе области работоспособности. Штрафные затраты будут постоянными, если под ними понимать среднюю долю времени, в течение которого АС ожидает восстанов­ления.

При сделанных предположениях выражение для математическо­го ожидания затрат примет вид:

■М [с] — л,- gsj c) [-^2 я,- I-)jscts

і j s і s

=яР2о+2 2 2 Л,- As Я si tj “Ь 22 Я/ DisCjs- і j s is

Анализ выражения (3.12) показывает, что затраты, связанные — с ожиданием, влияют на общее значение средних удельных потерь, не зависят и не связаны с принимаемыми решениями по проведе­нию восстановительных работ. Это, в частности, означает, что при выполнении условий (3.11) отыскание оптимального правила про­ведения восстановительных работ можно вести без учета времени ожидания. Все остальные виды затрат в этом случае влияют на формирование правила проведения восстановительных работ.

Другой частный случай, возникающий, например, при исполь­зовании автоматизированных систем контроля и возможности про­водить восстановление сразу после обнаружения отказа, характе­ризуется следующими условиями: затраты на контроль постоянны, т. е. tSj=t0, штрафные стоимости равны нулю, а затраты на при­нимаемые решения

т 1 п» т 1 Р’	i=, F — 1, s=, F— 1; i=F, s=l, F—h	(3.13)
0, X	i = s ЄЕ 1, F.

М [ic=t0—Tv 2 *fDfs+Тп 2 2 Я, As — (3. 14) 5=1 5=1 / = 1

В этом случае средние удельные затраты

F—l F— 1 Л-1

Из формулы следует, что вид решений определяется только ха­рактером случайного процесса, аппроксимирующего обобщенный параметр АС, и затратами на восстановительные работы, а точнее их отношением. Последнее становится очевидным, если провести следующее преобразование:

м[с]aWa’+aa12 2я’а,+2я^л — <3-15>

/ = Т 5=1 5=1

Следует также отметить, что полученный результат является по­лезным с двух точек зрения: при практическом применении рассмат­риваемого алгоритма исходная информация о затратах может со­бираться не в абсолютных величинах, а в относительных, что долж­но способствовать повышению ее достоверности; облегчается, ана­лиз характера получающихся решений.

Выражение (3.15) получено для случая, когда для идентифика­ции состояния АС, в том числе и состояния отказа, необходимо кон­тролировать обобщенный параметр. Это эквивалентно отсутствию мгновенной индикации отказа, когда затраты на контроль не влия­ют на определение правила восстановления. Рассмотрим теперь

случай, .когда такая мгновенная индикация отказа существует. Это означает, что значение затрат на контроль состояния F равно нулю. В этом случае выражение (3.14) примет вид:

Таким образом, при наличии мгновенной индикации отказа затраты на контроль оказывают влияние на результат решения задачи по определению правила проведения восстановительных работ, но при этом могут учитываться не самостоятельно, а в совокупности с за­тратами на предупредительные работы.

Пример 1. Пусть имеется обобщенный параметр, область работоспособно­сти которого разделена на семь состояний. Для определенности будем считать, что к состоянию относятся нижние границы отрезков, полученных при таком разбиении. Состояние 1 является новым, а состояние 7 — отказом. Предполо­жим, что поведение параметра описывается матрицей стационарных вероят­ностей переходов

^0,30	0,20	0,20	0,12	0,10	0,05	0.03Л
0,10	0,30	0,20	0,13	0,12	0,08	0,07
0,08	0,10	0,30	0,20	0,12	0,10	0,10
0,05	0,10	0,10	0,30	0,20	0,15	0,10
0,05	0,10	0,10	0,15	0,30	0,20	0,10
0,02	0,08	0,10	0,10	0,20	0,30	0,20
v>	0	0	0	0	0	1 )

Рассмотрим результаты решения задачи линейного программирования по минимизации (3.15) с учетом обозначений (3. 7) и ограничений (3.5) при to — =0. Заметим, что существо и общность решений при этом не изменяются. За­дача решалась при вариации отношения величины Q=Tn/Tv в диапазоне 10,1], так как при g>l нецелесообразность проведения предупредительных работ оче­видна. Всего в задаче было 42 допустимых переменных *iS, индексы которых принимали значения t= 1, 2,…, 7, s=l, 2,…, 6. Проиллюстрируем процесс получения значений DiS на примере, когда р = 0,09. Для этого случая были получены следующие значения xis, отличные от нуля: Хі = 0,2116;

х22 = 0,1975; хзз = 0,2222; х4, = 0,1397; *5i = 0,1084; *ei = 0,0671; *„ = 0,0535.

Вычислим значения элементов матрицы решений в соответствии с выраже­нием (3.7). Так, элемент

xis ____________ 0,2116

F—i 0,2116 + 0 4- … +0

2 Xis

По аналогии можно вычислить все элементы этой строки, учитывая, что элементы матрицы решений равны 0 и 1, можно воспользоваться равенством (3.4). Из последнего ясно, что если один из элементов равен единице, то все остальные равны нулю. Проводя аналогичные вычисления для остальных эле­ментов матрицы решений, получим, что от нуля отличаются следующие эле­менты: Dzz—D33=D^=Doi = Dei = Dn=. Располагая их в матрицу, получаем матрицу решений

Гранина области работоспособности

U=F і

Область оптимальной остановки

(3. 17)

]Dis\ =

‘/ i=l

УУУбЧ /Ш

При эксплуатации АС с учетом таких допусков эксплуатационные затраты, приходящиеся. на единицу. полезного времени использования АС, минимальны. Если под полезным временем понимать наработку, то коэффициент техническо­го использования будет максимальным. Если полезное время исчислять длитель­ностью полета, то будем иметь максимум располагаемого полетного времени. Оценим влияние величины Q на характер получающихся решений, для чего рассмотрим результаты решения задачи линейного программирования при Єє(0,1] (табл. 3.1). Анализ данных табл. 3.1 показывает, что для параметра, аппроксимируемо­го цепью Маркова с матрицей (3.16)), введение упреждающего допуска, а сле­довательно, и проведение предупредительных работ целесообразно при q^0,2, так как только при таких значениях q наблюдается уменьшение средних удель­ных затрат (см. отношение a=glgo, где go=M[c]/7’p — значение приведенных средних удельных затрат при g=l). При больших значениях q оптимальной является эксплуатация до тех пор, пока не будет зафиксирован отказ. Поэтому

 

при q^0,2 для параметра, описываемого матрицей (3.16), целесообразно при­менять эксплуатацию по состоянию. При q>0,2 разумной формой является эк­сплуатация по уровню надежности, которая в данном конкретном примере ока­зывается частным случаем эксплуатации по состоянию [54].

Таблица 3.1 Q Показатели 0 0,01 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,4—1 І* 2 2 3 3 3 3 4 6. 6 7 К 0,314 0,385 0,662 0,713 0,764 0,814 0,854 0,870 0,981 1 0,030 0,030 0,039 0,039 0,039 0,039 0,053 0,072 0,072 0,095 т FF 33,3 33,3 25 25 25 25 18,8 13,9 13,9 10,5 ‘1 FF ТП — TFF{ q-1) 3,15 3,15 2,42 2,42 2,42 2,42 1,80 1,32 1,32 1

Помимо оценки эффективности системы технической эксплуатации на основе — сравнения средних удельных затрат по результатам решения задач линейного программирования можно получить некоторые характеристики безотказности, одна из которых — среднее время между моментами попадания процесса в со­стояние F (среднее время между отказами системы). Для рассматриваемой управляемой марковской цепи среднее время между отказами (математическое ожидание числа шагов между соседними моментами попадания в поглощаю­щее состояние F) определяется из выражения [36]

Tff— (ят) 1.

где nF — средняя частота возвращения цепи — в состояние Г.

В нашем примере вероятность я*-=Я7. Так как D7i=l, то nF=x7i.

Рассмотрим результаты расчетов вероятностей я7, средних времен между отказами TFF, а также отношений t] = TFF/TFF (0=1) (табл. 3.1). Из табли­цы видно, что показатели безотказности системы улучшаются при g^0,2. Од­новременно можно оценить максимально возможное увеличение среднего време­ни между отказами в такой системе при организации предупредительных работ оптимальным образом. Для данного примера оно не превышает 3,15.

Таким образом, введение эксплуатации по состоянию позволяет не только сократить средние удельные затраты и повысить коэффициент технического использования, но и увеличить безотказность АС. Здесь следует отметить, что увеличение безотказности при введении предупредительного восстановления пока неуправляемо. В § 3.3 мы покажем, как в рамках этой задачи можно обеспе­чить заданные показатели безотказности или убедиться в принципиальной не­возможности этого.