Синтез линейного закона управления многомерным объектом по аналоговому прототипу

Большинство разработанных методов синтеза законов управле­ния цифровых систем относится к одномерным системам. При ре­шении задачи управления многомерным объектом обычно исполь­зуются методы параметров состояния и теории оптимального уп­равления [18, 20].

Эффективным является синтез законов управлення, основанный на согласовании векторов состояния известной непрерывной систе­мы, которая называется в этом случае аналоговым прототипом, и синтезируемой цифровой системы, обладающей экстраполятором высокого порядка [39].

Рассмотрим многомерный объект управления, описываемый матричным дифференциальным уравнением:

X(t)=Ax (t) Ви (0, (2.124)

где X — вектор фазовых координат размерности пХ1; А и В — по­стоянные матрицы размерностей пХп и пХт соответственно; и — вектор управления размерности mXl, т^п.

Пусть непрерывный закон управления, обеспечивающий анало­говому прототипу достаточный запас устойчивости, формируется в виде вектора управления

(2.125)

где G — матрица обратной связи размерности тХп.

Для интервала времени tiT^t(n+1)7 вектор выходного сигна­ла экстраполятора цифровой системы иц размерности mXl равен

«в (t) = LmN (t—nT) иц (пТ), (2.126)

где Т — период дискретности; LmN (t—пТ) —матрица экстраполято­ра N—1-го порядка размерности mXmN, которая имеет вид

, {t — пТ)*-1 .

m{t пТ) [„… (ЛГ_1)1 К lm — единичная матрица размерности mXm 0Ц — вектор управле­ния размерности mNxh определяемый выражением:

Ua (пТ) = —6 (Г) Хц (пТ), (2.127)

где матрица обратной связи цифровой системы G(Г) имеет размер­ность mNXn и равна

G (Г)=||Оо (Г) 0[ (Т)…<ДЯг_1 (7’)|Г,

Gі(Т)—матрицы коэффициентов размерностей mXn (t = 0, 1……….

N—1). Штрих означает операцию транспонирования. Индексы при векторах X и U в приведенных выражениях указывают на вид за­кона управления «н» — непрерывный, «ц» — цифровой.

Разностные уравнения аналогового прототипа (2.124), (2.125) и цифровой системы (2.124), (2.126) имеют вид:

Хн[(я+1)7,1-=Ф(7’)Хв(яГ), (2.128)

Хц [(я + 1J Т =Фо (Г) (вГ) +9 (Г) 0,< (пТ), (2.129)

где

ф(Л=е,«-ВО)Г_ у(A-BG)’_H _

 

Задача синтеза состоит в определении параметров закона управ­ления (2.127), при которых вектор состояния цифровой системы

(2.127) , (2.129) равен вектору состояния аналогового прототипа

(2.128) в процессе отработки любых начальных условий Хц(0) = = Хп(0).

Добиться точного совпадения векторов состояния цифровой си­стемы и аналогового прототипа на протяжении всего процесса от­работки начальных условий невозможно из-за принципиального различия между ними: цифровая система замкнута только в момен­ты квантования, будучи разомкнутой между ними, и текущее зна­чение вектора управления, подаваемого на объект (вектора выход­ного сигнала экстраполятора 11ц) на интервале времени nT^t< <(п + )Т определяется матрицей экстраполятора L„,w((—пТ) и вектором управления 1!ц, который вычисляется на основе фазовых координат объекта, имевших место в момент времени t = nT. Ана­логовый прототип замкнут постоянно, и текущее значение вектора управления Uu определяется текущими значениями фазовых коор­динат объекта. Поэтому можно говорить лишь о некоторой степени приближения вектора состояния цифровой автоматической системы (ЦАС) к вектору состояния аналогового прототипа.

Найдем значения параметров закона управления (2.127), при которых вектор состояния ЦАС (2.127), (2.129) точно совпадает с вектором состояния аналогового прототипа (2.128) через М пе­риодов дискретности.

Будем считать, что в момент времени t = nT аналоговый прототип

(2.128) и ЦАС (2.127), (2.129) имели векторы состояния

Хн (пТ) — Хп (пТ).

Через М периодов дискретности в момент времени t= (п + М)Т вектор состояния аналогового прототипа

Хн[(я + 7И)Г] = Ф(МГ)Хн(геП, re = 0, М, 2М,… (2.130)

Для вектора состояния ЦАС в этот же момент времени имеем

Ж-1

Хц [{п + М) Т =Ф0 (МТ) Хц (пТ) + V Ф0 {М -; — 1) Т] 0 (У) х

X un[{ti-{-j)T], (2.131)

п = 0, М, 2Ж,…

Приравнивая выражения (2.130) и (2.131), получаем

Л/-1

[Ф (МТ) — Ф0 (МТ) Хц (пТ) = V Ф0 [(М — j — D Т в (Т)иц [(я + j) Т)

j=°

или

S(T)U=[Ф(Л47) — Ф0(МТ)| Хц(пТ), (2.132)

где

S(Т) = ||Ф0 [(М — 1)7] 0(Т) Ф„ (М -2) Т 0(7).• .Ф0(7)0 (Л Є (DU

<-<—————— л X ЛГМп———————————— ►

(2.133)

и =цо; (яп о; [(я +1) г]… о; цп+м-2)тй’4(п-м-) т іг

————————— — MNmX 1————- ————————————— *•

(2.134)

Пусть М такое, что

MNm^n. (2.135)

Матрица S(7) является матрицей управляемости цифровой си­стемы (2.129). При N = 1 матрица S (7) совпадает с известной мат­рицей управляемости цифровой системы [34, 39].

Цифровая система (2.129) управляема с периодом Т, если ранг матрицы S(D равен п.

Если в условии (2.135) имеет место равенство, то матрица S(7) является квадратной, и существует матрица S-1(7). Тогда из уравнения (2.133) для вектора U находим

и = S-1 (Г) [Ф (МТ) — Фо(МТ)] Хц (л л,

что можно представить как О,, (пТ)

0ц[(я+1)Г]

Ua(n + M-2)T]

0ц [(п —М — 1) Т]

Введем матрицу идентификации Ij размерности mNXn:

Nm (2.137)

Для вектора управления IIн[(«+/) 7] из уравнения (2.136) по­лучаем

Рис. 2.11. Схема цифровой системи

Од [(я + J) Т)=IjS-і (Т) [Ф {МТ) — Ф0 (МТ)] Хц (пТ),

у=0, 1,…, М-1, /г = 0, М, 2М,… (2.138)

С другой стороны, определим вектор

0ц [(я 4-У) 7’1 = — (Т) Хц(яТ)

/=0, 1,…, Л4-1, д = 0, АГ, 2Л4…………. (2.139)

Сравнивая выражения (2.138) и (2.139), находим 6/(Г)=-і/5-1(П[Ф(уИГ)-Ф0(Ж7’)], У=0, 1,…, М-1. (2.140)

Из закона управления (2.139), видно, что координаты вектора состояния Хц измеряются через М периодов дискретности, а матри­ца Gj(T) изменяется каждый период дискретности на протяжении этих М периодов, пробегая ряд значений от Gq(T) до GM-(T).

На последующих М периодах дискретности характер изменения матрицы Gj(Т) повторяется.

Схема цифровой системы с законом управления (2.139) пред­ставлена на рис. 2.11.

Когда MNm>n, то для нахождения матрицы G3(Т) закона уп­равления (2.139) необходимо из матрицы S (Г) составить матрицу Л(Г), вычеркнув MN-m-n зависимых столбцов матрицы (2.133), и положить равными нулю элементы вектора (2.134), которые соот­ветствуют вычеркнутым столбцам. В результате уравнение (2.132) примет вид

Л (Г) Uj = [Ф (МТ) — Ф0 (МТ) 1 Хц (яГ),

где Ui — вектор размерности дХ 1.

Так как матрица Л (Г) неособенная, то^ после выполнения эле­ментарных преобразований для матрицы Gj(T) закона управления (2.139) опять получаем выражение (2.140), в котором матрица S_1(T) будет заменена матрицей Л-1(Г).

В общем случае матрица Л (Г) неединственная, поэтому матри­ца Gj(T) определяется неоднозначно.

Когда условие (2.135) не выполняется, возможно приближенное решение поставленной задачи.

Допустим, что ранг матрицы S (Т) равен q, q = MNm.

Рассмотрим уравнение (2.132). Домножим его слева на постоян­ную матрицу Н размерности qXn.

Если матрица Н выбрана так, что существует матрица [HS(T)_1], то для матрицы Gj(T) закона управления (2.139) получаем

б,(П=-1;.[Н5(Г)]-ЧНФ(МГ)-НФо(МЛ], ;=0, 1,…, М-1,

(2.141)

где здесь и далее матрица идентификации Ij имеет вид (2.137), но ее размерность mNXq.

Умножение уравнения (2.132) слева на матрицу Н приводит к тому, что при законе управления (2.139), матрица которого Gj(7) определяется выражением (2.141), через М периодов дискретности согласуются не векторы состояния Х„[(п+М)Т] и Хц[(гс+М)Л, а векторы Yir[(n+M)7] и УЦ[(« + М)Д связанные с векторами Хн[(п+М) Л и Хц[{п+М)Т] соотношением [3]:

YH[(ra + M) Л = НХн[(га + М) Т] = Yu [(л —М)Т = НХЦ [(п + М) Т],

п — О, М, 2М,…яМ.

Второе приближенное решение получим, если определим вектор из условия минимума функционала:

/={Хн[(я+М)7′]-Х„[(я + М)7′])’0!Хн [(л + М) Т —

-Хц[(я + М)Л1, (2-142)

где Q — неотрицательно определенная симметричная матрица раз­мерности п + п.

Подставив в (2.142) значения векторов Хц[(п+М)7] и Хц[(я+М)Л из (2.133), (2.134), с учетом обозначений (2.136), ^2Л37) находим вектор U, доставляющий минимум функционалу (2.142):

U = [S’ (Т) QS (Г)]"1 S’ (Т) Q [Ф (МТ) — Ф0 (МТ)] Хц (пТ). Отсюда матрица G,-(7) закона управления (2.139):

(Т)= -1 j [S’ (Т) QS (Г)]-1 S’ (Т) Q [Ф (МГ) — Ф0 (МЛ],

j = 0, 1,…, М-1. (2.143)

Матрицы Н и Q выбираются неоднозначно, поэтому матрица ОДГ), определяемая выражениями (2.141), (2.143), неединст­венная.

Если ранг матрицы S(7) меньше q, то из нее следует составить матрицу столбцов, положить равными нулю элементы вектора U, соответствующие этим столбцам, и использовать полученные ранее приближенные решения или определить вектор U непосредственно из уравнения (2.132):

и = S+ (Л [ф (МЛ — ф0 (МТ)] Хц (пТ),

где S +(Л —псевдообратная матрица для матрицы S(Т).

Матрица G,(7) закона управления (2.139), в этом случае имеет вид

G;.(Г)= — I, S+ (Г)[Ф (МТ) — Фо(МТ). (2.144)

Выражение (2.144) справедливо и тогда, когда ранг матрицы S(7) равен q. При этом матрица G,(7) единственная в отличии от ее значений, определяемых выражениями (2.141), (2.143).

Когда Л1=1, a N>n/m, то векторы состояния аналогового про­тотипа и цифровой системы согласуются каждый период дискрет­ности с помощью экстраполятора высокого порядка.

В качестве примера рассмотрим объект управления (2.124), для которого

	0	1	0		0
А =	0	0	1	, В=	0
	-2	-3	-3		0,5

а матрица обратной связи аналогового прототипа равна

G=||3 2,5 3,5||.

В данной системе п = 3, m= 1. Для точного согласования векто­ров состояния числа М и N должны отвечать условию АШ>3.

Используем экстраполятор первого порядка (N=2) и согласуем вектора состояния каждые два периода дискретности (М = 2).

Для 7=0,3 с матрицы Go(7), Gi(7) равны

2,548088689 2,069164985 2,946904539

-4,815922741 -4,738732488 -5,359598085 ’

0, 430661398 0,018930377 0,426743136

0 0 0

Математическое моделирование для начальных условий Х(1(0) = = Хц(0) = II—1 0 0||’ показывает высокую степень соответствия пе­реходных процессов цифровой системы и аналогового прототипа.

На рис. 2.12 приведены графики ошибок по координатам векто­ров состояния

ДХ1.(/)=ХН1.(/)-Хц,(/) (/= 1, 2, 3)

(Хн/— координата вектора состояния аналогового прототипа; Хц,- — координата вектора состояния цифровой системы) и по векторам управления

ди(0 = ин(()-иц(0.

Рис. 2.12, а, б, в, г дают наглядное представление о согласова­нии векторов состояния цифровой системы и аналогового прото­типа.

При синтезе систем управления полетом получили значительное развитие нелинейные законы управления, реализация которых свя­зана с построением систем с переменной структурой или с псевдо — линейной коррекцией [26]. Известно, что несмотря на существенное различие систем с переменной структурой (СПС) и с псевдолиней — ной коррекцией (ПЛК), получаемые в них законы управления име­ют очень много общего.

В простейшем случае СПС рассматривается как система, обла­дающая линейной структурой, кроме тех моментов времени, когда происходит изменение структуры и управляющее воздействие фор­мируется в виде

11=Ах, (2.145)

где

х — величина ошибки управления; а = Л0+ДЛ, Р=Л0—ДА, с — постоянные коэффициенты;

А0 —

или

м=А0д: + ДА |л:| sign (сх —х). (2.146)

Второе слагаемое в выражении (2.146) характеризует нелиней­ный логический закон управления. В системах с ПЛК нелинейный логический закон управления реализуется в аналогичном виде

и — |хх| sign хъ (2.147)

где Хх (р)= Wа (р) X (р) И Х2 (р) = (р) X (р) —

изображения сигналов на выходе амплитудного и фазового каналов ПЛК соответственно;

Wa(p) и №’ф(p) —передаточные функции амплитудного и фазового каналов.

Известно, что передаточная функция W&(р) определяет вид амп­литудной частотной характеристики, реализуемой при помощи ПЛК, а передаточная функция W$(p)—вид фазовой частотной харак­теристики. В возможности раздельного независимого формирования амплитудной и фазовой частотных характеристик заключается главное достоинство нелинейных законов управления, относящихся к ПЛК. Особенно привлекательной является такая ПЛК, при ко­торой создается фазовое опережение без усиления средних и высо­ких частот или даже при одновременном подавлении этих частот.

В системах цифрового управления ПЛК образуется реализацией соответствующего нелинейного разностного уравнения

и (пТ) = хх {nT)sgxx2(tiT), (2.148)

где xl(z) = Da(z)x(.z), x2(z) = D^(z)x(z);

Di{z) и А))(г) —дискретные передаточные функции цифровой псев- долинейной коррекции (ЦПЛК).

Обычно все существенные особенности процессов управления и стабилизации самолетом проявляются на частотах ш<2/7′, поэтому методику синтеза систем с непрерывной ПЛК оказывается возмож­ным обобщить на системы с ЦПЛК [15, 25].

Коэффициенты гармонической линеаризации ПЛК не зависят от амплитуды входного сигнала. Это дает основание на базе простого анализа найти приближенные выражения для амплитудной и фазо­вой частотных характеристик ЦПЛК в функции псевдочастоты X [15]:

Лплк (^) = І^ПЛК (А)1 ~ Ла (Х).[0,64 —{— 0,36| COS (|®а| ?ф)|1’

?плк W = arg £>плк (А)=Тф — О-42 sin 2 (|«ра| + ®ф);

где Ла(Х) = |Ц»(А)|, cpa = argZ)a(;X), ^=arg /Эф (уХ).

Из анализа выражений (2.149) следует:

максимальное отклонение ЛПлк(Х) от Ла(Х) не превышает 4 дБ

и имеет место на частотах, где <ра (Х)|-f-<рф (X) = (2/+1) — (

1 = 0, 1, 2, …, п. Поэтому при синтезе нелинейных законов управле­ния можно приближенно считать /1плк (Х)^Ла(Х);

максимальное отклонение фплк(Х) от фф(Х) составляет около 24° и имеет место на частотах, где сумма |фа(Х) |+фф(Х) кратна я/4; это отклонение необходимо учитывать при решении задачи син­теза;

амплитудного и фазового кана­лов, а выражения (2.149) ста­новятся точными. ПЛК могут использоваться в системах в двух вариантах: в виде после­довательного корректирующе­го устройства, или в виде кор­ректирующей обратной связи.

Особенность систем с ПЛК состоит в том, что при наличии внешних воздействий из-за су­щественной нелинейности зако­на управления в них возмож­но появление устойчивых ПЄ-Рис. 2.13. Схема псевдолиненной коррек — риодических режимов, Т. Є. дии с разделением сигнала управления

ПЛК обеспечивает демпфиро­вание только свободного движения. Для устранения этих режимов или для уменьшения амплитуды колебаний эффективно разделять сигнал ошибки на высокочастотную и низкочастотную составля­ющие. Такое разделение дает возможность подавать на вход зве­на ПЛК только высокочастотную составляющую сигнала ошибки, которая оказывает влияние на устойчивость и быстродействие си­стемы в целом, а низкочастотную составляющую, оказывающую ос­новное влияние на величину установившейся ошибки и являющую­ся причиной появления периодических режимов, подавать сразу на выход звена ПЛК (рис. 2.13).

Передаточная функция цифрового фильтра, выделяющего из сигнала ошибки х(пТ) высокочастотную составляющую Х(пТ), может быть выбрана в виде

W {z) = ^~ ——— — г~———— , а < 1. (2.150)

г + I ■

Передаточной функции (2.150) соответствует частотная переда­точная функция при а=1

WxUX)=TJEl-, (2.151)

1 + АТі

из которой следует, что цифровой фильтр не пропускает низкочас­тотную составляющую. Высокочастотная составляющая пропуска­ется фильтром без искажений.

Передаточная функция цифрового фильтра, выделяющего из сигнала ошибки х{пТ) низкочастотную составляющую х2(геГ), мо­жет быть принята равной

Соответствующая частотная передаточная функция при а= 1 равна

Этот фильтр без искажений пропускает низкочастотную состав­ляющую ошибки системы и наоборот подавляет ее высокочастотную составляющую.

Постоянная времени Ті в передаточных функциях (2.153) и (2.152) должна выбираться достаточно большой, например, из ус­ловия ЛсГі>1, где Хс — частота среза.

Схема с псевдолинейной корректирующей обратной связью в этом смысле является предпочтительней схемы с последовательной коррекцией.

Расчет для обоих вариантов схем можно вести методом лога­рифмических частотных характеристик [25].

Рассмотрим системы, у которых дискретная последовательность и(пТ) преобразуется в непрерывный сигнал, поступающий на ли­нейную непрерывную часть с передаточной функцией Wo(p), экстраполятором нулевого порядка.

Для систем с астатизмом второго порядка, у которых

W (р) = —^———- , (2.154)

/>2П (7/>+1)

/=1

в качестве типовой рекомендуется логарифмическая частотная ха­рактеристика (ЛЧХ), изображенная на рис. 2.14, а. При 7<Т/2 дискретная частотная передаточная функция приведенной непре­рывной части системы имеет вид

Типовая ЛЧХ (рис. 2.14, а) образуется введением в систему ЦП Л К, создающей фазовое опережение с одновременным подавле­нием высоких частот.

С этой целью в амплитудный канал ЦПЛК вводится дискрет­ный аналог апериодического звена 1-го порядка, а в фазовый ка — канал —дискретный аналог форсирующего звена, т. е.

(2.156)

(2.156) где 1.

Передаточным функциям (2.156) и (2.157) соответствуют следу­ющие частотные передаточные функции:

(2.158)

Таким образом, с учетом выражений (2.149), модуль и фаза частотной передаточной функции разомкнутой системы, соответст­вующей типовой ЛЧХ (рис. 2.14, а), оказываются равными:

|U7(/X)| = £|jl +Х2 Zlpd + ^l^Id+^aVr; (2.160) ®(Х) = — л-f arctg ХГф — 2 arctg Х-^—arctg X7” s -(- Дф, (2.161)

Д<Р 0,42 sin 2 (<рф + |<ра|); срф= arctgХГф — arctgX;

|?а| = / ^arctg Ta — arctgX L)j.

Для установления связи между параметрами типовой ЛЧХ и критерием запаса устойчивости найдем запас по фазе ц(Х.) = = я + ф(1), предварительно приближенно заменив в выражении (2.161) сумму арктангенсов, соответствующих малым постоянным времени 7v и Т 2, аргтангенсом суммы

Кроме того, потребуем, чтобы на частоте лт, соответствующей максимуму запаса по фазе (2.162), выполнялось условие

?Ф+1?а|=^-|-. v=l> 2,…п, (2.163)

обеспечивающее (2.149) развязку амплитудного и фазового кана­лов ЦПЛК. Тогда Д<р = 0 и исследование функции (2.162) на мак­симум дает

MO=arctg—L (2.164)

^ у /I

В качестве критерия запаса устойчивости используем показа­тель колебательности замкнутой системы М. Максимум запретной области для фазовой характеристики, ограниченной линией посто­янного:

(Xj = arctg

1 /УИ2_ I имеет место на частоте Ято", соответствующей величине модуля (2.166) Из рис. 2.14, а находим (2.167)

где базовая частота Х0^ш0=|//С. Приравняв (2.164) и (2.165), найдем

Тф _м +1

Тъ + Т ~~М — 1 ‘

Приравняв частоты Я™ и Ям с учетом выражения (2.168), полу­чим следующие формулы для определения параметров типовой ЛЧХ:

После определения постоянной времени Тф, периода дискретно­сти Т и частоты Ям, использовав условие (2.163), найдем постоян­ную времени фильтра амплитудного канала:

Для систем с астатизмом первого порядка, передаточная функ­ция непрерывной части которых:

W{p) = ——!<——————- , (2.172)

Р П (Tip + О

i-i

рекомендуется типовая ЛАХ, изображенная на рис. 2.14, б, обра­зующаяся за счет включения ЦПЛК, у которого Da(z) имеет вид (2.173), а Оф(z) = 1.

i

(г) [(1 + 2Tai/T) г + I — 2ГЛ/Т] [(1 + 2Та2/Т) г + l — 2Та2/Т]1~1 ’

(2.173)

*(‘-*т)[,+*(£“!!)]

Период дискретности выбирается так, чтобы удовлетворялось условие Г,<0,57. Тогда

Если условие (2.179) не выполняется, то (см. рис. 2.14, б) мак­симум запретной области М будет иметь место на частоте

Поэтому при всех значениях М, не удовлетворяющих условию (2.179), аналогично предыдущему получим

2 Г А*Га1

Постоянная времени 7а2 определяется по следующей формуле, в которую в зависимости от величины М подставляется значение (2.170) или (2.180).

Рассмотренный подход к решению задачи синтеза систем с ЦПЛК легко обобщается и на другие виды систем.

В заключение отметим, что для увеличения демпфирования свободного движения следует уменьшать период дискретности, т. е. приближать дискретную систему к непрерывной. Однако уменьше­ние периода дискретности увеличивает нагрузку на управляющую ЦВМ, реализующую ПЛК, и поэтому является нежелательным.

Компромиссное решение этого вопроса может быть найдено следующим образом. Алгоритм управляющей ЦВМ, реализующей ПЛК, распадается на два частных алгоритма: алгоритм амплитуд­ного канала и алгоритм фазового канала. Поэтому для улучшения качества свободного движения без существенного увеличения на­грузки на управляющую ЦВМ целесообразно уменьшать период дискретности лишь в одном из каналов ПЛК. В качестве такого лучше выбрать фазовый канал, так как частный алгоритм фазово­го канала, как правило, проще частного алгоритма амплитудного канала. Кроме того, частота переключений в системе с ПЛК, во многом определяющая качество процессов, определяется частотой смены знака фазового канала. Естественно, что управляющий сигнал на выходе всего цифрового управляющего устройства дол­жен формироваться с периодом дискретности фазового канала.