КОМПЛЕКСА АВИАЦИОННЫХ СИСТЕМ

4.1. ОБЩАЯ СХЕМА УПРАВЛЕНИЯ

ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО СЛУЧАЯ 4

Пусть состоящее комплекса АС характеризуется вектором X(t) = {x(t), x2(t), xN(t)}, составляющие которого суть дис­

кретно контролируемые параметры. Общее число контролируемых параметров комплекса равно N.

Требование дискретного контроля является естественным для всех реальных технических систем. Поэтому считаем, что вектор

X(t) наблюдается с постоянным интервалом At в моменты /ь t2……………….

Считаем также, что распределение вектора X (t) нам известно, т. е. известно

F(z)=P{X(t)<Z}=P{x1{f)<zl,…,xN{f)<zN}. (4. 1)

Предположим, что область L допустимых изменений вектора X(t) или пределы изменения его составляющих заданы. Обозна­чим их как L(Bl)—для верхней границы составляющей х,• и L^ — для ее нижней границы (£=!,…, N), тогда HN)y

где /.(‘)== [/.Л /Г], / = 1, N. Полагаем, что выход любой состав­ляющей вектора X(t) за допустимые границы (отказ комплекса) приводит в среднем к потерям С+А’, где С — средние потери, свя­занные с упреждением или ликвидацией отказа (например, время замены или регулировки отказавшего или находящегося на грани отказа блока или системы) и А’ — некоторый штраф вследствие отказа комплекса.

Обозначим через tq момент первого выхода любой из составля­ющих вектора X(t) за допустимые границы и введем следующую функцию потерь:

— • n<q tn

(С + Л’)

При наблюдении за вектором X(t) следует выбрать такой мо­мент 4, определяющий оптимальное правило остановки наблюде­ний— упреждения отказа комплекса (назовем его оптимальным моментом остановки наблюдений), при котором

M[yts] = minM[ytn],

г i> min берется по всем правилам остановки наблюдений из неко — riipwo заданного класса.

После такого момента 4 эксплуатация комплекса строится та­ким образом: если до момента 4 хотя бы один параметр комплекса мы и нм за допуск (в момент tg), то сразу же после отказа восста — п. шли ают отказавший блок или систему и проверяют (при необхо — м и мости регулируют) все остальные параметры комплекса (затра — II,! и этом случае равны С+Л’). Если до момента 4 параметры не выходили за допустимые пределы, то все проверки и необходимые |н-| > лировки осуществляются в момент 4 со средними затратами С.

І Ірсдполагаем далее, что наблюдения за вектором X(t) не влекут пі собой никаких затрат.

Определим момент оптимальной остановки наблюдений 4- Оче — иидпо, что при п— <q, если момент 4i есть некоторый (не опти­мальный) момент остановки наблюдений,

М ytjx (4),…, 26 (4-!)] = -£- р {■*! (4) (4)є=

IX (4) ЄІ,…, X (4-і) е4} +

І ^ [ 1 — Р Іхг (tn)EELW,..„ xN (4) ЄЕ4" | 26 (4) ЄД…, * (4-х) ЄЇ}].

(4.2)

Для краткости записи условную вероятность в формуле (4.4) сокращенно обозначим как Р{ }. Тогда, учитывая, что tn = nAt,

А’ (/і-l)

Пусть s будет таким наименьшим п, при котором

(4‘3>

А’ (и—1)

Тогда для всех /;>s 1—Р{ }>С/А'(п—1), так как левая часть (4.3) увеличивается (для любой стареющей или постепенно разрегулирующейся технической системы), а правая уменьшается с ростом п. Согласно теореме 4.1, доказательство которой приво­дится в следующем параграфе, момент остановки наблюдений ta является оптимальным.

Пусть A/,* = min(fs_i, ^|«]-і). где [g] — наибольшее целое, меньше д. Тогда оптимальная стратегия эксплуатации комплекса заключа­ется в том, чтобы проверять его (при необходимости восстанавли­вать или регулировать) через время N*. ‘

Рассмотрим несколько частных случаев. Если предположить, что между соседними наблюдениями вектора X(t) .возможен выход за пределы допусков не более одной его составляющей, то (4.3) можно записать в виде

шах [1 — Р(хг (tn) е LW/X (А) Є £,…, ЛГ (/„„О Є

-P{xN {tn) ЄЕ Lm/X (/0 Є L,..„ X (/„.О ЄЕ L} >

Если составляющие вектора X(t) являются гладкими (произ­водная реализации не меняет знак в пределах шага контроля), то

(4.4) запишется так:

max[(l — P{x1(tn)<min(L{K1)—x1 (<„_!), №—x1(tn_1)X(tj є

ЄІ….Д I P {xN (/„) < min (LiN) — xK (tл_і),

^N) < xN (in^))/X (/,) ЄЕ L,…,X (*„_,) ЄЕ L} > C.

A (n— 1)

Для независимых составляющих вектора X(t), например, для случая (4.8)

И, наконец, при независимых составляющйх (параметрах) ком­плекса и независимых их изменениях по шагам контроля

max [1 — P{Xl (*„) ЄЕ № I jd (*„_,) Є К1)};…;

1 -P{*N ft,) ЄЕ iW | *„(/„. _,)є №}] > —

[4′ (и — 1)]

В случае дискретной функции распределения (4.1) для управле­ния по описанному выше алгоритму (например, при контроле по принципу «да — нет» — наблюдении за числом отказов комплекса систем) необходимо знать состояние каждой наблюдаемой системы

и гг наработку к моменту наблюдения. При этом на структуру ком­плекса никаких ограничений не накладывается. Известную труд — ІМІГП. здесь представляет определение области отказовых состоя — мімі комплекса.

І Іусть обобщенный параметр, характеризующий состояние ком­плекса при эксплуатации, есть случайно меняющийся скалярный параметр X(t), который отражает процесс накопления нарушений. І’ачтмотрим монотонно возрастающий случайный процесс X(t) с приращениями Хп, п— 1, 2,… в моменты контроля. Таким обра­нім наблюдаем некоторую последовательность зависимых случай­ных величин Хи Х2, …, Хп, . .. Пусть функция :<р(Хь Х2, .., Хп, …), принимающая значения 0, 1, 2, …, характеризует правило оста­новки (наблюдений). Будем считать, что если xp(XIt Х2, …, Хп, …

) т, т. е. Xi=xu Х2~ х2, Хт—хт, то процесс наблюдения

икн впивается на m-м шаге. Если іф(Х|, Х2, …, Хп, …) =0, то это означает, что принято решение вообще не производить наблюде — ІИІи над случайными величинами.

Отмстим, что записи Х, х2, …, х„_і относятся к уже наблюден­ным приращениям (реализациям случайных величин Х1г Х2,…,

. . ., А, а если мы не наблюдали приращение, то считаем его случайным и обозначаем символом X. Например, если последнее наблюдение закончилось в момент £„_ь то приращение процесса V (/) от t„-1 до tn обозначаем через Хп.

Введем функцию потерь для отыскиваемого правила остановки наблюдений:

(4.5)

Функцию (4.5) поясним следующим образом: наблюдая процесс Х(1) до момента /„ включительно, решаем, какие будут удельные потери, если остановить процесс в момент tn, здесь С — среднее время возвращения процесса в ноль, если X(tn+i)<L, а | /Г — среднее время его возвращения в ноль при — Х(їи+і)>£, іде /. допускаемая граница изменения процесса X(t), iz—мо­мент выхода процесса X(t) за уровень L. Так как числитель дроби в правой части (4.5) случаен, то необходимо найти оптимальное правило ф*, минимизирующее средние удельные затраты, т. е.

min Ж yn+i (х1,…,хп, Хп+1).

Покажем, чтобы потом воспользоваться известным результатом, что

^ Уп+1 Хп, ^n+x)]t/n (-ХГц…,ЛГЛ_1, Xп),

если процесс наблюдения остановить не позже момента ф*, т. е. при1

….. Хп) (4.7)

и если

1 — P{Xn+1<L-X(tn)/xlf х2,…,хп}<^~. (4.8>

71

Подставляя (4.8) в (4.6), убеждаемся, что наше утверждение верно. И наоборот, А1 [yn+1(xv…, хп, X’n+l)> y„(xv…, хп_и Хп), если. процесс наблюдения остановить не раньше момента ф*, т. е. при

«><?*(хъ…,хп) (4.9>

и если

1 — P{Xn+1<L — X (tn)/xi, х2,…,хп}^>С/Л’п).

Подставляя последнее выражение в (4.6), убеждаемся, что и обратное утверждение справедливо.

Пусть п* есть такое п, при котором имеем знак равенства в (4.7) и (4.9). Тогда

<р:*:(х1,…,хп, Хп+1)=п*. (4. 10)

Так как выполняются условия теоремы 4.1, то утверждение (4.10) верно и п* нужно отыскивать как наибольшее п, при котором еще — верно выражение (4.8). Найдем из (4.8) уравнение кривой опти­мального упреждающего допуска в предположении, что прираще­ния Хп независимы и одинаково распределены: F(L—Xr(tn)^l— —С/An. Взяв от обеих частей этого неравенства функцию обрат­ную F, получаем

или X (tn) < і — F~x ^ 1——- •

Управление с использованием кривой оптимального управления оказывается весьма эффективным. Для случая независимых, оди­наково распределенных приращений процесса X(t) подробные количественные данные, характеризующие эффективность эксплуа­тации технических систем по состоянию (оптимального управления монотонным процессом), приведены в работе [1].

4.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОПТИМАЛЬНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВЕКТОРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Пусть (U7, Fn, Нп)—векторное вероятностное пространство для каждого л=!1, 12, … с точками океВ-‘, где К — размерность. некоторого наблюдаемого в моменты tu <2… вектора Хп (и=1, 2,…), т. е. имеем дело с последователь-

и,„ іі.’о векторных зависимых случайных величин Xi(ti), Х2(12),..Xn(tn), где /.. (п — случайные моменты времени, с заданным совместным распреде­

лением //(X,(tt), X2(t2),…, xn(tn), U, fc,…, tn. Причем состояние процесса „ іаиисит от всех прошлых значений Х, Х2,..Х„_, и от распределения мі імен га t п.

І Іоследовательность (уп, Fn) является некоторой стохастической последо — н. тП’.’іііііостьіо: Уп—последовательность случайных величин, Fn — последова — ,!• 1ЫЮ1 ть векторных о-алгебр (о= (ои ог, ■ ■ ., Ок)) с F„eFB+ieF и у„ из­мерима относительно Fn, уп является некоторым функционалом, определенным: їм траекториях процесса Хп, ЩУп] существует и — оо оо.

Ііудем в дальнейшем интересоваться выбором некоторой случайной (поло — ,1,11 ІеЛІ. ІЮІІ и целой) величины s = s(coK), которую назовем моментом остановки наолюдений за процессом Хп, {s^/i}^Fn и {з<оо}=Ц7. Здесь (и в дальней­шем) с помощью фигурных скобок {…} обозначено множество всех «к, упшлстноряющих соотношению внутри скобок. Задача будет состоять в отыс — I,.піни такого значения величины s.(если оно будет существовать), которое минимизирует М[уп]. Определим момент остановки наблюдений следующим пора him [75].

I’.а усмотрим наряду с последовательностью B, eFn последовательность

О = В0<=…Вп+1<=…; б Bn = W, (4. 11>

момент остановки s, определяемый как {s<;m}=B„, тогда, очевидно, {s = «}= /(„ Вп_1.

Если последовательность («/„, Fn) является такой, что В„—{М[уп i — //„} удовлетворяет (4.И), то назовем этот случай монотонным и определим момент остановки s как

{s <л} = {М [Уп+і/Хп] < Уп}, (4. 12>

і не .s удовлетворяет записи

M[yn+iFn[ >/П’ I <Уп

Мездс в приложениях для рассматриваемого монотонного случая будем в іііюііііться определением момента остановки s, для которого верно (4.12), и следующем виде: s равно наименьшему положительному целому /’, такому,

Ч III

м [і/(+і|В/] < У І. (4. 14>

Однако даже и в немонотонном случае всегда можно определить случай — нні величину s с помощью правила (4.14), полагая s= оо, если не найдется і. нм и о j=s, при котором верно (4.14). Необходимым и достаточным условием і мнеетиопания момента остановки s, для которого справедливо (4.13), являет­ся монотонность процесса Хп и выполнение для s условия (4.14).

Покажем, что в монотонном случае можно выбрать такой момент оста — .ч (при справедливости (4.14), при котором достигает минимума вели­чин, і Л4[і/Л — Отметим сначала, что рассматриваемые ниже моменты остановки •• н I янляюгея такими, для которых существует Л4[гд] и Myt.

Теорема 4.1. Если для каждого п

м [Ы^п] < уп, S > п, (4. 15>

" XI [ytFn] > уп, s=n, t>n, (4.16)

ю M[«/s] <Af [yt]. (4.17)

Лемма 4.1. Если M[//s] ограничено и выполнено условие (4.17) для ‘• аждого t, то (4.15) и (4.16) справедливы также для каждого t.

Доказательство теоремы 4,1. ‘Учитывая, что М[у по-разному определяется в зависимости от соотношения s и п и используя формулу полной Вероятности, получим

\т

M[ys] = І] UsdH (Xі (/,), Х2 (h), …Xs (tsy,

n = 1 {S-/2, /<nj

oo

■i, h…. ,^ + 2 J j — — ■ J УпйН № (h), X2(t2)………………….. Xn(tny, tlf t2,…,tn) =

/2=1 2/г раз

{$=/2, t >/2 J

CO

” JJ • • • J UsdH (Aj (^i), X2 (^2) * • • • > Xn (tnY> ^11 ^2» ■ • • »^«) H-

/2 = 1 2/2 раз

{S>/2, />/2}

00

■+ 53" Я ■ ■ ■ I yndH(Xi№)• ■ ■ • — xnVn); h, t2,…, tn). (4. їв)

/2 = 1 2a раз

[5=/2, />/гJ

На основании (4.15), (4. 16) и (4.18)

со

~M [у5] < У] (‘•-■J yndH (Л’і(П). X2(t2),…, Xn(tn); tlt t2,… ,tn) +

4=1 ‘2/г раз

JSV/2, f=/2}

00

+ 2 J ■ ■ • J № (*i>. *2 (/2),. -., xt (/,); tu t2……………………………. t() = M [yt],

n=l 2/ раз

{S = tl. <>«}

Следовательно, мы доказали, что в монотонном случае при выполнении условий (4.15) и (4.16) момент остановки наблюдений s является оптималь­ным — доставляющим минимум величине М[у3. Это и означает, что теорема 4.1 доказана.

Доказательство леммы 4.1. Для фиксированного п

V = {s > п и М [ys|F„] > уп} є Fn.

n { s, «5Е V;

-Определим t = 1

( п, а» є ІЛ

Тогда F является моментом остановки. Так как M[ys] ограничено, то со­гласно (4.17) Л1[у„]<оо и, значит, М[у t,] существует.

Покажем, что М [yt,] = М [ys]:

М [yt,] = J… J ut, dH (*, (/,), *2 №)……………….. Xt, {ttX tu t2. +

2n раз V

< J • ■ • J ysdH (X (ti), X% (^2)» • ■ • * Xs tj t<ii • •. > ts)

2s раз {<‘-*}

+ J • • • І У^Н (Xi ((j), X2(t2)……….. Xs(ts); tlf t2,…, /s)=Al[f/i].

2s раз
V

Юднако M [yt,] > M [уД.

 

оіпода следует; что P(V) = 0, что и доказывает справедливость (4.15).

Для доказательства (4.16) положим V={s = n, t>n и M[tjtlFп]>уп} и определим

I (и да можно по аналогии с предыдущим показать, что и в этом случае

АЦиг<м ys].

Оісдовательно, Р(V) = 0, что и доказывает справедливость (4.16).

4:1. СХЕМА УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ДИСКРЕТНОГО СЛУЧАЯ

Рассмотрим оптимальный алгоритм эксплуатации комплекса Ас, обладающего избыточностью по надежности (эффективности.) Принятие решения о дальнейшей эксплуатации комплекса систем шлжпо основываться на информации о состоянии систем, отобра­жаемой по принципу «да» — «нет» (работает или не работает в ди­скретный момент контроля та или иная система). Предполагается, что комплекс обладает избыточностью по эффективности (надеж­ности), т. е. отказ ряда систем в комплексе не является отказом комплекса в целом. Оптимизацию решения проводят по критерию, минимума средних удельных затрат на эксплуатацию комплекса, складывающихся из затрат (времени, стоимости) на устранение — нарушений (отказов систем и затрат, связанных с отказами ком­плекса). При этом эффективность комплекса не должна быть ниже — некоторого приемлемого уровня. Таким образом, задача отыскания — оптимального алгоритма эксплуатации АС с избыточностью отно­сится к классу многокритериальных задач. Составным критерием в мой задаче является критерий «готовность (стоимость) —эффек — I явность».

Оптимальный алгоритм эксплуатации комплекса систем по би­нарной информации о работоспособности систем сводится к про­верке следующего стохастического неравенства:

/'(v^), tk ] Є A, I [v {ti), th i=0, &—!]}<

В левой части неравенства — условия вероятность отказа ком­плекса за время Дt—th — tk-1 при условии, что состояния систем в момент th і известны и таковы, что комплекс в целом не находится п состоянии отказа. Вектор v(4) = {vi(A), t, …, vjv(0> ^v} харак — іч рпзуст с учетом наработки состояние каждой из N систем, по принципу «работает — не работает», т. е. для каждой системы

0, если l система работоспособна в момент t;

1, если она в момент t находится в состоянии отказа, i=,…,N.

Область Л0 обозначает набор таких состояний систем, которые характеризуют отказ комплекса (эффективность комплекса равна нулю).

В правой части неравенства (4.19) Ci/(C2 — СД—некоторая константа, характеризующая (в среднем) отношение затрат на воз­вращение комплекса в исходное состояние в момент предупреди­тельного восстановления (к этому моменту комплекс не отказал) Сі к разности между затратами на его восстановление после отка­за (в ряде случаев сюда входят и затраты, обусловленные отказом комплекса) С2 и затратами на предупредительное восстановление/ неотказавшего комплекса С.

Отсчет времени ведется дискретно: th=kAt, где At—шаі конт­роля комплекса, k — номер шага контроля.

Основная трудность при «работе» с оптимальным решающим правилом (4.19) заключается в определении условной вероятности. Для каждого комплекса это самостоятельная и порой довольно сложная задача. Для ее решения необходимо составить схему сое­динения элементов каждой системы комплекса и комплекса в це­лом по надежности (эффективности) и рассчитать вероятность от­каза комплекса. Если схема соединения элементов по надежности не является параллельно-последовательной, то расчеты существен­но усложняются.

Область Л0 отказов комплекса составляется по схеме соедине­ния элементов (систем) по надежности с учетом влияния отказа каждого элемента на эффективность работы системы.

Работу алгоритма (4.19) поясним на конкретном примере. Пред­варительно заметим, что процесс накопления отказов, или наруше­ний, в системе с избыточностью является ступенчатой и возраста­ющей во времени функцией. Если эту функцию сгладить плавной кривой, то получим процесс, исследованный в § 4.1. Именно моно­тонность накопления нарушений лежит їв основе обоснования опти­мальности алгоритма (4.19).

Рассмотрим сложный авиационный комплекс с избыточностью по надежности, которая меняется в зависимости от выполняемых комплексом задач. ІІзлагаемьіе рассуждения относятся к авиаци-‘ ■онному комплексу в целом, так как ему присуще выполнение раз­данных задач, а следовательно, используются и различные систе­мы комплекса.

Пусть комплекс состоит из N элементов (блоков, систем и т. д.), а 0г(О есть наработка i-ro элемента комплекса к моменту t. Тог­да в произвольный момент t состояние комплекса может быть опи­сано вектором v (/) = {vj (/) 0, (/’);…; vw(/), Од,(/)}.

Обозначим через А множество всех состояний элементов, обра­зованных по принципу «да — нет» для каждого элемента (напри­мер, все элементы исправны, неисправен один элемент и т. д.). Очевидно, что множество А содержит некоторое подмножество Л о. Если в него попадает вектор v(t), комплекс не может выполнить стоящую перед ним задачу с заданной эффективностью. Для каж­дой выполняемой комплексом задачи должна быть составлена

схема соединения его систем по надежности. Чаще всего использу­ется параллельно-последовательная схема. Для каждой задачи должен быть задан свой уровень эффективности. Это означает, что £/.-я задача характеризуется своим значением подобласти q= = 1,…, п, где п — число решаемых комплексом задач.

Покажем, как при решении комплексом ряда последовательных задач должна осуществляться его оптимальная эксплуатация с ис­пользованием алгоритма (4.19).

Предположим, что число задач равно п, причем при решении q-fi задачи используется Ng его систем, <7=1,2, …, п, Ng^.N. До­пускается, что при решении <7′-й и 1-й задач может быть исполь­зована часть одних и тех же систем. Все системы с начала функ­ционирования комплекса включаются в работу. Комплекс функцио­нирует непрерывно до начала предупредительного. восстановления или до такого момента времени, в который он не может решать хотя бы одну из п поставленных задач. Последовательность реше­ния задач во времени при этом нас не интересует. Допустим, что /10(9) (<7=1, ■■■, п) — подобласть состояний комплекса, при попада­нии в которую вектора v(t) = {vj(l), 01 (t); …; Vjvg(O0M<?(O} комп­лекс не может с заданной эффективностью выполнить q-ю задачу.

Тогда для q-й задачи алгоритм, аналогичный (4.19), запишет­ся так:

Пусть № и tz — соответствующие моменты первого невыполне­ния (4.20) и первого наблюдения события [‘vq{t), /] Є Ло?) с точно­стью до шага контроля. Тогда момент вывода комплекса на техни­ческое обслуживание (предупредительное восстановление или ре­монт) определяется как (общий отсчет времени ведется с начала работы системы, т. е. с to=0):

min (d! 4°,.., №, 4n)).

Таким образом, комплекс не может быть использован по назна­чению, если он не в состоянии выполнять любую из поставленных перед ним задач. Возможно здесь и другое предположение: комп­лекс не может быть использован по назначению, если он не в со­стоянии выполнить задачу, стоящую перед ним в фиксированный момент времени. В этом случае с момента начала работы комплек­са нужно для каждой задачи вести вычисления по алгоритму (4.20). В бортовой вычислитель, помимо алгоритма времени, дол­жна вводиться и информация о фактическом состоянии систем, уча­ствующих в выполнении каждой задачи. В вычислителе по-прежне­му содержится информация о возможности выполнения комплексом любой задачи с момента последнего контроля его состояния. Если к моменту 4** для <7-й задачи не выполняется (4.20), то техниче­ское обслуживание комплекса осуществляется в момент tiV’.