Условия устойчивости продольного движения

Условия устойчивости продольного короткопериодического движении.

Определим условия, при которых продольное короткопериодическое дви­жение самолета оказывается устойчивым. Рассмотрим модель короткопе­риодического движения в виде уравнения (3.20). Применим к нему преоб­разование Лапласа:

(pi — Апк)Хпк(р) = 0. (3.41)

Характеристический определитель уравнения (3.39)

А(р)

= p(p2 + 2hIp + taJ).

Коэффициент демпфирования продольных короткопериодических коле­баний и частота недемпфированных продольных короткопериодических колебаний имеют вид:

К — — + О = — м£], (3.43)

ю2 = = — Ц. — — (344)

Корни характеристического уравнения

X2 + 2Х + ю.2 О (3.45)

определяют характер собственного продольного короткопериодического возмущенного движения самолета

= — ht + ^/h2 — rn2. (3.46)

73

При а)- > h* и <я; > О корни уравнения (3.45) будут комплексно-со­пряженными, а собственное короткопериодическое движение — колебатель­ным:

і. і,* = — h. ± і v’V — h*.

Тогда решение уравнения (3.41) может быть получено в аналитическом виде: ‘

Aa(t) = Аїе_(,-1$іп(ув1 + фї),

ДюДО = A^e~’,-lt(FJ — hjsin^t + cp^) + vKcos(vst + фїД],

hl(p,/v.^sjn(pU + cos(p^J J. + Cu5

где A®, A®., Ay, С®-постоянные, определяемые из начальных условий Да = а0, Да = а0, Ди = о0, Дсо2 = со”, Дю2 = ш? при 1 = 0; о,-круговая частота собственных продольных короткопериодических колебаний; tp?, ф®«, ф)’ фазовые углы сдвига продольных короткопериодических колебаний.

С учетом того, что изменение вертикальной перегрузки связано с изме­нением угла атаки соотношением (3.29), получим

V0

Дп„ = — F® Да. (3.49)

уа ст 7к v 7

& .

Тогда

ДпуД0 = А к е = ‘ sin t + ф,), (3.50)

где А, = Ак V° F“K/g.

Необходимыми и достаточными условиями устойчивости опорного собственного короткопериодического движения по критерию Гурвица яв­ляются следующие условия: —

При выполнении этих условий отклонения параметров Да, Дпу , Дса2 в процессе собственного продольного короткопериодического возмущенно­го движения будут затухать, стремясь к нулю. Затухание отклонения Ди происходит несколько позднее, причем До стремится к некоторому отлич­ному от нуля пределу. Следовательно, собственное короткопериодическое движение самолета по отношению к опорным углу атаки, вертикальной перегрузке, тангажу и скорости тангажа устойчиво. Причем при отсутствии внешних возмущений по параметрам Да, Дпу и Дюг эта устойчивость является асимптотической, тогда как по параметру Ди эта устойчивость является неасимптотической. Следовательно, для возвращения самолета 74
к опорному значению угла тангажа До требуется вмешательство пилота или автоматики.

Условия устойчивости продольного длиннопериодического движения. Оп­ределим условия, при которых продольное длиннопериодическое движение самолета является устойчивым. Рассмотрим модель длиннопериодического движения в виде уравнения (3.22). Применим к нему преобразование Лапласа:

|Х„Лр)=0. (3.52)

* + мї. уй*, — (Руи + F“)].

Корни характеристического уравнения

Xі + 21іД + со? = О

определяют характер собственного продольного длиннопериодического возмущенного движения самолета:

*1.2= -K±Ja>l_~К. (3-57)

При К5д > Нд и со’" > 0 корни уравнения (3.56) будут комплексными сопряженными, а собственное длиннопериодическое движение-колеба­тельным:

*1.2 = — Ьд±і,/со^ — hj|. (3.58)

Тогда решение уравнения (3.39) может быть получено в аналитическом виде:

AV (t) = АУ е ~ h«* sin (уд1 + ср?), (3.59)

Ab(t) = А£є_Ь«‘81іі(Уд 1 + ф*),

где Ад, А”-постоянные, определяемые из начальных условий AV = V°, AV = AV0, А6 = Д0О, ДЙ = АЙ0 при 1 = 0; срд, <р®-фазовые углы сдвига; уд-дуговая частота собственных длиннопериодических колебаний.

Необходимые и достаточные условия устойчивости опорного длиннопе­риодического движения следующие:

h„ = — [р;ж(мїж + м^)/щг — (F* + F? )] > о, (3.61)

< = FKi [F?, тг + м ^) — <Fyv, + F“ ) ] > 0. (3.62)

При выполнении условий (3.61) и (3.62) отклонения параметров AV и А0 в процессе собственного продольного дпиннопериодического возмущенно­го движения будут затухать, стремясь к некоторому, отличному от нуля, пределу. Следовательно, собственное длиннопериодическое движение са­молета по отношению к опорной скорости и опорному углу наклона траектории при ^ отсутствии внешних возмущений является устойчивым, но неасимптотически. Поэтому для возвращения самолета к опорным значе­ниям V0 и 0° требуется вмешательство пилота или автоматики.

Условий устойчивости продольного траєкторного движения. Рассмотрим модель продольного траекторного движения (3.25). Проинтегрировав это уравнение, получим:

ДН (О = aH.0jAedt = А~ J е ” Ьд1 sin(va t + <p®)dt + Сн, (3.63)

AL(t) = aLV|AVdt = Ajje^’sin^t + (p^)dt + CL. (3.64)

При 1 ^ да, ДН ^ CH, AL -»CL. Следовательно, собственное продольное траекторное движение самолета по отношению к опорной высоте и прой­денному расстоянию при отсутствии внешних возмущений неасимптоти­чески устойчиво. Поэтому для возвращения самолета к опорным значениям Н и L требуется вмешательство пилота или автоматики.