Моделирование управляющих воздействий в продольном движении

Передаточные функции самолета в продольном короткопериодическом вынужденном движении по управляющим воздействиям. Управляющими воздействиями, наиболее существенно влияющими на параметры продоль­ного короткопериодического движения, являются отклонения рулей высо­ты А§в, органов управления подъемной силой А5у и органов управления тягой А5р. Рассмотрим модель продольного короткопериодического вы­нужденного движения самолета при наличии управляющих воздействий

Вектор-столбец входа по управляющим воздействиям в продольном короткопериодическом движении

MatHT-CAMt) A5y(t) A8p(t)]. (3.79)

В*

Матрица входа по управляющим воздействиям в продольном коротко­периодическом движении

Дополним уравнение состояния (3.78) уравнением выхода

‘ Упж(0 = CnIxnK(t), (3.81)

где Упк(1)_вектоР’столбец выхода в продольном короткопериодическом движении; Спк-матрица выхода в продольном короткопериодическом движении.

Пусть вектор выхода ym(t) совпадает с вектором переменных состояния xnK(t). Тогда Спк = I, где I-единичная матрица одинаковой размерности с вектором *П« ДО­Уравнение выхода (3.81) устанавливает однозначное соответствие меж­ду переменными состояния и выходными переменными. Применим к урав­нениям (3.78) и (3.81) преобразование Лапласа:

р ХПІ (Р) = Апк ХП£ (Р) + Хпк (0) + BL UL (Р),

Yni(p) = 1Хпк(р), (3.82)

откуда, исключая Хпк (р) и полагая Хпк (0) = 0, найдем

V„(P) = l(pl — А.) -1 BL и;,(р). (3.83)

Определим матрицу передаточных функций самолета в продольном короткопериодическом движении по управляющим воздействиям как от­ношение преобразования Лапласа вектора выхода YnK (р) к преобразованию Лапласа вектора входа UL(p) при нулевых начальных условиях:

v fnl ( ,

WL(P) = = I (pi — A^T’BL = (pi — A^r’BL = ФПЇ(р) BL — (3.84)

U n. (PI

Переходная матрица состояния продольного короткопериодичёского движения самолета

Фпк(р)=(р1-Апк)-1 =(Фпк(р))-1. (3.84)

Элементами матрицы WnK (р) являются передаточные функции самолета по соответствующим параметрам вектора выхода YnK(p), совпадающего в рассматриваемом случае с вектором переменных состояния продольного

81

А (р) A(pjdojn* ° і ч 1 _ 1 ((Р _ аи, а> Д du, wt ага, д р

короткопериодического движения хП1(р), на управляющие воздействия UUp)

Матрица передаточных функций самолета в продольном короткопе­риодическом движении имеет вид:

Д(р)а<м*’	Д(р) ^А^ V* +	-^[а ,• Д(р) шЛ
’ (р Дцд)	"F аа.6, а<ог, а ]	‘(р-0 + а^Ра1
-Е_а • Д(р)	Д р) ^A’V», +	р Щ [а«Аа«% +
^а, ю7		‘V(p-a<0^)]
1 Д(р)а“Л‘	д(р) ^а“А аи-™« ’	1 г Д(р)1а“Аа^
•(Р-аа, а)	(Р	*(Р“а«.) + аА’
	^),toz ^oz, a і

(3.90)

Определим характеристики матрицы передаточных функций.

Время недемпфированных продольных короткопериодических колеба­ний

Относительный коэффициент демпфирования продольных короткопе­риодических колебаний

к |ю*1

1 Vе

Коэффициент усиления по угловой скорости тангажа при отклонении руля высоты

йъкК

кі

^а,£г * ^Rr . Коэффициент усиления по углу атаки при отклонении органа непосред­ственного управления подъемной силой

вЕ, сог За+а ^а,<рЕ ’ **ci)2>a

F*; м«; i*«ki

*co.,coz ^а, а **а,(о. со.,а

аа,8р * acoz,8 — a«z,8p * аП, а К^К+ ~ ^ ЙR, ‘ усиления по углу атаки при отклонении орга] а — s ‘аа. ш — а-к ‘ а MRP + FVP(M + MR )

w*-.-м8: + + мйКі)

к т = Постоянная времени Т = 1 v

ЙІ, ,—.а

3-м я

(3.96)

Згі ел 3« х 3fl.

(3.97)

Постоянная времени

органа управления тягой

(3.99)

Постоянная времени

Mr:

аи„8р

(3.100)

Т =- р

Постоянная времени

Ja,8,

Т = хра —

Лх„,	Д6	W (р)	Лх„.	Дй	W (р)
	А5В	Д5 ФОеР+П w. * ,_________________ -_____________________	Да	ч	каР(ТроР + О
	Т ‘ Дш, VK/ 3 Т0р1 + 2Та^р+ 1	™ Да (Р) — — у у Т2р* + 2Та^р+ 1
Дш2	Ч	д6 ^МІГуР+О Wa0> /пі		Ч	ДЕ> к8, (Твр + 1)
™Д Т„рг + 2Т(1^р+ 1		WAv IPJ у Т„р2 + 2Тй^р+1
	AS,	« ^СГ, Р+1)	До	Ч	Д6 к^СГтР+і)
	Т^р^ + 2Та^р+1	wAu 1PJ — , Тцр2 + 2Тп^ар + 1
	AS.	к8- wM.(nv а		Д8р	д5 к8:(ТрР+1)
	w Да — Т„Р2 + 2Тв$вр + 1		w Ди КРІ — у Tftp2 + 2Тц^цр + 1
Да	Ч	к8′(Туир + 1)
w Да! PJ : т^ + гт^р+і

Тогда передаточные функции с учетом обозначений (3.91)-(3.92) сведем в табл. 3.1. ■

Передаточные функции самолета в продольном длиннопериодическом вынужденном движении по управляющим воздействиям. Управляющими воздействиями, наиболее существенно влияющими на параметры продоль­ного длиннопериодического движения, являются отклонения органов уп­равления продольной силой А8Х, подъемной силой Д8у и тягой А8р. Рассмотрим модель продольного длиннопериодического вынужденного движения при наличии управляющих воздействий

» хпд (I) = Апдхпд (1) + B^uUt) • (3.102)

Вектор-столбец входа по управляющим воздействиям в продольном длиннопериодическом движении

[< (t)]т = [Д8Ж(t) Д8У(t) А8Р(t)]. (3.103)

Матрица входа по управляющим воздействиям в продольном длинно — периодическом движении

Дополним уравнение состояния (3.102) уравнением выхода

ynfl(t) = Ixnjl(t) = xI1H(t))

где упд(1Ь вектор-столбец выхода в продольном длиннопериодическом движении, совпадающий с вектором переменных состояния хпд (t).

Определим передаточную матрицу самолета в продольном длиннопе­риодическом движении по управляющим воздействиям (р) при нулевых начальных условиях следующим, образом:

W’» = = СРЇ — Аш. Г1в£д = (3.106)

^ пд (р)

где Фпд (р) — переходная матрица состояния продольного длиннопериодического дви­жения самолета.

<Й*

Элементами матрицы (р) являются передаточные функции самолета по соответствующим параметрам вектора выхода Уад(р), совпадающего с вектором переменных состояния продольного длиннопериодического движения хпд(р). Причем элементы матрицы W£A(p) определяются по отношению к отрицательным отклонениям Д5х(р), Д8у(р), Д8р(р):

Относительный коэффициент демпфирования длиннопериодических ко­лебаний

„ (aV, a aV, u) aV, V j J aV, u Lae, o a0,vJ

a™,,a — ’ “»/

— PI, — к?.] X

Коэффициент усиления по скорости в длиннопериодическом движении при отклонении органа управления продольной силой

Коэффициент усиления по скорости в длиннопериодическом движении при отклонении органа управления подъемной силой

Коэффициент усиления по скорости в длиннопериодическом движении при отклонении органа управления тягой

aV,51.

/ Га^ 1

JaV, ol ~~—- ае, а — a0,v

Коэффициент усиления по углу наклона траектории в длиннопериоди­ческом движении при отклонении органа управления продольной силой

р, б

av,« F х

Д’п,	Д8	W(p)		Д5	W(F) ■
	AS,	к^ТвР			. s,
	W^(W-T^ + 2Tv§vp+l		ie(W Тур2 + 2TV4V p + 1
AV	А5Г	W’4 In, kV	де	Д8,	ke’(TflP+D
Тург + 2TV ^vp + 1
	Д8р	W",(D) — k^TvP		Д5Р	WAS’(ol kflP
	A^{?) Tip2 + 2Tv£vp + 1		IPJ T2 ? , О’Т X ~ , I TvP + ZrvSvP + 1

Коэффициент усиления по углу наклона траектории в длиннопериоди­ческом движении при отклонении органа управления подъемной силой

(3.115)

 

Коэффициент усиления по углу наклона траектории в длиннопериоди­ческом движении при отклонении органа управления тягой

Передаточные функции самолета в длиннопериодическом движении по управляющим воздействиям представлены в табл. 3.2.

Передаточные функции самолета в полном продольном вынужденном движении на управляющие воздействия. Рассмотрим модель полного про­дольного движения самолета при наличии управляющих воздействий

*„(t) = Anxn(t) + BJu^t). (3.118)

Найдем изображение по Лапласу вектора параметров продольного движения самолета

хп(Р) = w;(p) Щ(Р)

где W* (р) = (pi — AJ 1 Вї — передаточная матрица самолета в полном продольном вынужденном движении на управляющие воздействия, элементы которой опреде­ляются по отношению к отрицательным отклонениям вектора управлений Ujj(p).

Определение передаточной матрицы W* (р) связано с обращением мат­рицы (р1-Ап), что при размерности этой матрицы (7 х 7) представляет собой довольно трудоемкую задачу и в аналитическом виде практически не применяется. Поэтому воспользуемся некоторым упрощением процедуры получения передаточных функций с помощью уже полученных результатов для коротк^периодической и длиннопериодической моделей движения.

Рассмотрим процедуру получения передаточных функций по отклоне­нию руля высоты Д5В. Передаточные функции самолета в короткопериоди-

лк лк

ческом движении WAmez(p), W^B(P) и W^B(p) известны и определены в табл. 3.1- Если определить передаточную функцию W^(p), то

W^(p) = w£(p)w£(p). (3.120)

АХ

AS k“’ ¥де*(Р) = —— ■—— :—————— (3.123) Р [ТаР2 + 2Та^аР + 1]

Передаточная функция (р) находится из следующих соображений. В короткопериодическом движении Да ^ Аи — АО, поэтому из второго уравнения (2.111) можно получить

Аналогичным образом получают передаточные функции самолета по углу наклона траектории на отклонения органов управления подъемной силой Л5у и тягой Д5р в короткопериодическом движении:

д, k6/+k^/(T9p’+ 1)

W$ (Р) = ‘————————- : —

p[Tup2 + 2Тя£ир + 1]

д5 к8’ + kLyiTeP + 1)

W&(p) =——— —————————

р[т;р2 + 2та^р + 1]

Так как изменение величины А6 происходит при отклонениях Д5К, Л5 , А8р и в длиннопериодическом движении согласно передаточным функциям (см. табл. 3.2), суммарные передаточные функции самолета по углу наклона траектории принимают вид, приведенный в табл. 3.3.

к*>в

kj*

[к^кїї./(ТвР + 1)]к*ї(Гвр + і)

W(p)

Передаточные функции самолета в короткопериодическом движении по высоте получим с учетом того, что приращение высоты связано с прираще­нием угла наклона траектории следующим образом:

	ДЙ = а не ДЄ,	(3.126)
ан, е = V-. Отсюда	шде. , ан.9 V° wiH(p) = —= —• Р Р	(3.127)
Следовательно,
vC(P)	k8, V° .„де, . „.да., , — WiH(p) Wie‘(p) _——— т—^—————- . Р2 [ТиР2 + 2Та^ар + 1]	(3.128)

Аналогичным образом получим передаточные функции самолета по высоте на отклонения Д8у и Л5р с учетом того, что изменение А6 происходит как в короткопериодическом, так и в длиннопериодическом движении. Эти передаточные функции сведены в табл. 3.4.

Для получения передаточных функций по скорости воспользуемся урав­нением длиннопериодического движения (3.22), выразив из него передаточ­ную функцию • самолета по углу наклона траектории:

w£(p)————————- ^ ——— (3.129)

Г ] ТеР+ 1

Р — JaV, V — ~ (aV, a + aV, u) Г

W-B(P> wrv(prw^P)%2[T, p2 + 2T“y+1](T, p+1). (5.W

Передаточные функции самолета по скорости на управляющие воздействия Д8 Д5у и Д8р получены аналогично и сведены в табл. 3.5.

Таблица 3.4 Д5 W(p) Д5В г*в V0 W^ei’n) 2 ■ дн W р[Т2р2 +2Tai;ap+l] ДН А8Х Ш^хґр) 1‘0"V. "4Н ptTvP2 + 2Tv^vp + 1] Л8у WAbyM [k^k»yoli/(T0p + l)]k*y(Tep + D V»_ 4H P [T«P2 + 2Та^ар + 1] [T2p2 + 2Tv^vp + 1] Л8р WASr(p) [kSek^/fTeP+lHkgpV p[T2p2 + 2Таі;ар + l][T2p2 + 2Tv!;vp + 1]

Таблица 3.5 Д6 W(p) Д8В «гД8» (_ч k“zkv AV P[T2p2 + 2Та£ар + 1](I> + 1) AV AS, W48x(n) вПХЧг 4V P[TvP2+ 2Tv^vP+ l](TgP+ 1) ASy Ck^kS^/CTep +l)]k«yke AV^ p [T^p2+ 2Tv^vp + 1] [T2p2 + 2Tv^vp + 1] A8P л,(р) №fcklv/<TeP+l)]kK AV p[T2p2 + 2Та!;ар + ЩТ2Р2 + 2Tv!;vp + 1]ГГІР+ 1)

м

А аг At?

ДВ

АН

AV

AL

Передаточные функции самолета по пройденному расстоянию получены из уравнения продольного траекторного движения (3.25):

WfL»(p) = WfL(p)W**»(p).

Передаточные функции самолета по пройденному расстоянию на управляющие воздействия Д5Х, Д8у и Д5р сведены в табл. 3.6. На рис. 3.7 показана структурно-ди­намическая схема управления продольным траекторным движением.

Реакция самолета на ступенчатые отклонения органов управления в продольном короткопериодическом движении. Она зависит от его дина­мических характеристик, а также от характеристик управляющих воз­действий.

Маневр самолета в продольной плоскости совершается энергичным отклонением руля высоты Д8В, органа управления подъемной силой Д8у или органа управления тягой Д8р. При этом закон изменения Д8В, Д8у и Д8р близок к скачкообразному, т. е. ступенчатому. Рассмотрим реакцию само — 92

лета на ступенчатое отклонение руля высоты Д8В. На этапе коротко­периодического движения формируются новые значения угловой скорости тангажа (Да>2)уст, угла атаки ЛауСт и нормальной перегрузки Апу уст:

Дюг(,ст = Д&„ lim W (р) = к ^ Д6,,

р-о

L* А«*ует = А5В lim Wg-(p) = к<- аД5в, (3.135)

р-0 z’

ДПуаусТ = Д6В lim WjJ^(p) Wд^*(ір) = к^»ПуаД5в.

Р-*0

Коэффициент усиления по нормальной перегрузке при отклонении руля высоты

(3.136)

Реакция самолета на единичное изменение A5B(t) = 1 (I), изображение которого по Лапласу Д8В (р) = -, описывает переходную функцию, которая

1

р

Таблица 3.6 АЬ W (р) , Д8„ W«i(p) ————— — ^ v —————— — 4L p[T^p2 + 2T^ap+l](T^p + l) AL Дб, k-Sive W (р) = —~——————- ———————- AL р[т^рг +2Tv^vP + і](т;Р + 1) Дбу „ ля..ґ. [к^к^/(Т0р+1)]к|Ук« ‘ 4L> Р> Р [Т2 р2 + 2TvSvP + 1] [Т2Р2 + 2TvfcvP + 1] Ч W4*.r(rt_ k£f*./сгвр + J]b*pkt *L p|T2pI + 2Ta^p+ l][T^p2+2Tv^vP+ 1](ТІР+1)

лучим:

А , / Л«(„иЛы ^“(TeP + 1)

Дюг(р) = Д5В (р) WA ‘ (р) = ■ 1

Да(р) = A5.(p)W^(p) =

k£>

р(ТцР2 + 2Т„1Цр + 1)’

 

Для оценки характеристик продольной устойчивости и управляемости самолета особенно важен переходный процесс по нормальной перегрузке. Перейдем от изображения Дпуа(р) к оригиналу: ‘

sintv’ l -%1 — + arcsm

Д5„

Дпуа(1) = к(

 

(3.138)

Так как передаточные функции по углу атаки и нормальной перегрузке отличаются только коэффициентами усилений, то переходная функция для угла атаки Aa(t) будет иметь аналогичный вид.

Определим динамические характеристики устойчивости и управляемос­ти самолета в продольном короткопериодическом колебательном дви­жении при отклонении руля высоты пилотом.

Период собственных колебаний самолета

^тсТ^ (3.139)

s/1-^

Частота собственных колебаний самолета

_ 1 _угч!

■ ‘ Тк 2яТа

Время переходного процесса до практически полного затухания, когда отклонение регулируемого параметра (например, Лпуа и Да) будет от­личаться от его конечного установившегося значения (Дпууст, Даусг) не более чем на 5%: .

^зат — г ‘•за

Число колебаний до практически полного затухания

ш 1 /1 /]

чзт _ — у — Sa _ Q. о V 1 4t

2я^„ ’

Относительное превышение нормальной перегрузки при достижении ею первого экстремального значения

Время срабатывания — время первого выхода регулируемого параметра

управления продольной силой *-.~у. параметров короткопериодического движения имеют вид: ^Лю7(Р) Р

Пс8′ + к“у V^tO. + *^n. f

Д5У Иш (P)W^(P) — (С* + С)Д8

движения на его установившееся значение (ДпУаУСТ)

с V0 ¥

где к5* = — f° kSy

Переходные функции и характеристики продольной устойчивости и управляемости при отклонении Д5у определяются аналогично рассмот­ренным функциям и характеристикам при отклонении Д5„.

Реакция самолета на импульсные отклонения органов управления в полном продольном движении. Изменение траектории полета самолета в продольной плоскости осуществляется кратковременным отклонением руля высоты Д8„, органов управления продольной силой Д5„ и подъемной силой Д8у, а также органа управления тягой Д8р. При этом закон изменения Д8В, Д8Х, Д5у и Д8р близок к импульсному. Рассмотрим реакцию самолета по траєкторним параметрам на импульсное отклонение руля высоты Д8В. По окончании короткопериодических и длиннопериодических колебаний сформируются новые значения угла наклона траектории Д0уст и скорости AVVCT:

Д0УСГ = Д8. Шп {р W£e"(p)} =

Р О

ДУуст = Д8В Шп^^(р)} =

р-»0

Высота полета ЛН при этом будет медленно изменяться, так как в знаменателе передаточной функции W^h(p) имеется квадрат оператора Лапласа р2. При импульсном отклонении А5Х сформируется новое значение высоты

АНуст = А8Х lim {pWfHx(p)} = ЦХУА5Х.

р-»0

При импульсном отклонении Д5у:

А0УС1 = А6у lim {pW^(p)} = (|£ + k^jk^AS,, p о

AVyci — A5y lim {p W дvv (p)} = (1& + k^) k*/kA5y

p-"0

При импульсном отклонении А5р: .

А0уст = (к% + k^)k^ASp,

AVycr = (к£ + к^жНуДО,

Переходные процессы характеризуются переходными функциями. Ка­чество переходных процессов определяется характеристиками устойчивости и управляемости. Аналогичным образом возникают переходные процессы при отклонении пилотом органа управления по гармоническому закону.