СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЕЙ

В дальнейших главах нам часто придется находить дифферен­циалы функций вида

x=f(p, т, п, G).

Для сокращения выводов обычно проще находить так назы­ваемый логарифмический дифференциал. Остано­вимся несколько подробнее на его свойствах.

Пусть некоторая величина X есть функция двух перемен­ных у и — г

X=f(y, z). (6.16)

Прологарифмировав обе части равенства (6. 16):

In Х = п f(y, z), (6.17)

продифференцируем (6. 17) и найдем логарифмический диффе­ренциал X:

с/(1п X)=d[nf(y, г)]

или

сіх __ df _ df

,, дХ. , дХ.

df= — dy + — dz,

ду dz

то уравнение (6.18) можно написать в следующем виде:
ах _дХ у dy дХ г dz
X ду X у dz X z

0 ^ v у дХ v z дХ

Введя обозначения Xv = -^—— и л =——— —

у X ду X dz

то, сопоставляя формулы (6.27) и (6.28), получим

Хи=Хуу и~Ь Xzzu,

Xv=XvyT+Xtzv. (6.29)

Пользование формулами (6.21) и (6.29) особенно удобно в тех случаях, когда все функции /, ср и являются степенными,

так как при помощи соотношений (6. 24) можно, не производя непосредственного дифференцирования, сразу написать необхо­димые формулы для логарифмических дифференциалов.

Следует помнить, что в общем случае показатели Ху и Xz являются сами функциями от у и г.

В виде примера разберем задачу, с которой в дальнейшем придется встретиться. Для определенного режима полета, напри­мер, для режима горизонтального полета с двигателем, работаю­щим при постоянных оборотах, число М полета зависит от атмо­сферных условий, т. е.

М=/(ря. Тя),

где рн и Тн — независимые переменные. Пусть в результате экс­перимента были найдены показатели Жр и Жт. Требуется найти для того же режима полета показатели Vт и VP, а также Vt и Vip.

Для подсчета показателей Vp к Vt воспользуемся формулой V = Жа = Ж V kgRTfft (6.30)

причем по условию

м=/(ря, тн).

Сопоставляя приведенные зависимости с формулами (6. 16), (6.25) и (6.29), получим

Vp=VJAp+VtTp; Vj^VMt+VtTt.

Из формулы (6. 30) следует, что

Ум=1; V т-0,5.

Так как Тн и рн мы считаем независимыми переменными, то

E*?Ll = o а Ту = — = 1

Те дрн Т„ дТЕ

Следовательно,

vp-M„,

rp = Жт -j — 0,5.

Таким же образом, воспользовавшись для V% формулой (4. 15)

и считая

М—/(Ря>

найдем

УiP = У; мМр + V — ррр, V it = V, мМу + VippT. У1Я=1; Vlp = 0,5; Pp=U Рт = О, У-ф = Мр + 0,5, J Уіж=мт. I

Так как

то

(6.32)

 

Глава VII

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЕРЕСЧЕТЕ ХАРАКТЕРИСТИК