ИНЖЕНЕРНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПАРАМЕТРОВ СОСТОЯНИЯ
Числовые характеристики параметров состояния (математические ожидания, дисперсии и др.), необходимые для расчета параметрической надежности, на этапе проектирования ЛА чаще неизвестны. Иногда невозможно установить их непосредственно по опытным данным и в период испытаний ЛА из-за невозможности прямого измерения параметров состояния. Поэтому возникает задача нахождения числовых характеристик распределения (в общем случае — закона распределения) параметра состояния по известным числовым характеристикам (законам распределения) возмущающих параметров, обусловливающих стохастический характер
функционирования рассматриваемого объекта (ЛА в целом или его отдельных бортовых систем, элементов корпуса и т. и.).
Решение такой задачи базируется на математической модели процесса функционирования объекта как динамической системы. За основу принимается детерминированная модель функционирования, используемая при проектировании объекта. Модель отображает преобразования случайных входных параметров (возмущений) в выходные параметры динамической системы (параметры состояния).
Модели, соответствующие физическим процессам функционирования конкретных узлов, агрегатов и систем ЛА, весьма разнообразны. Их разработка основывается на теоретической механике, аэродинамике, теории полета, теплотехнике, строительной механике и ряде других дисциплин, но изложение специфических особенностей моделей не является целью данного учебного пособия. Ограничимся общей математической формулировкой модели функционирования.
Модель функционирования как зависимость параметров состояния Zv от возмущений Хі в достаточно общем виде представляет собой систему х обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и (п—s) алгебраических уравнений связи:
dZ-tldt—F^Zs, Xh t);
<ly(Zv, Xl% 0=o,
где t= 1, 2, …, k v= 1, 2, …, и; /=1, 2, …, s; r=s+l, …, n.
Символы Fi и фг — известные функциональные зависимости. Возмущающие параметры Xt — случайные величины, в общем случае коррелированные. К виду (1.72) удастся привести большинство моделей предварительными преобразованиями: понижением порядка производных, разрешением дифференциальных уравнений относительно производных, заменой ограничений типа неравенств, равенствами, сведением случайных функций к системе случайных величин. Последнее можно выполнить, например, методом канонического разложения [13], согласно которому случайная функция
т
Г(*)=щ„(*)+2 Л>,(*), (1.73)
/ = 1
где mv(t)—математическое ожидание функции Y(t); Хі — некоррелированные центрированные случайные величины; срг-(/) —-неслучайные функции времени (координатные функции).
Иногда, например при определении надежности конструкции ЛА в условиях вибраций, целесообразно сохранить представление возмущающих воздействий в виде случайных процессов и воспользоваться в качестве модели передаточной функцией с применением преобразования Лапласа. Пусть выходной параметр Z(t) линейной динамической системы связан со входным возмущением X(t) дифференциальным уравнением
A{p)Z{t)=B{p)X{t (1.74)
где дифференциальные операторы:
A (p)=an/7n+an_i/7"-1+ … +ai/?+a0;
^(Р) = ^т/7’"+*т-іРт~І+ ■ ■ • ~Иі Р + Ь0; p=d/dt; (m<^.n).
Коэффициенты аг и Ьі в (1.75) —функции параметров динамической системы. Передаточная функция представляет собой отношение изображений выходного и входного параметров [41]:
f-f [j. r.’j bm Ua’)m + bm — ] (j^)m 1 + … + bj (ум) + 6p
an (/“)” + an і (У01)” 1 + • ■ • + o-i (У“) — Ь o. q
Если X(/) —стационарный случайный процесс, то по спектральной плотности ЗЦсо) и передаточной функции нетрудно найти спектральную плотность выходного параметра (параметра состояния):
I (1.77)
Для нелинейных динамических систем и при существенных отличиях законов распределения возмущений от нормального применяют другие стохастические методы [41].
Рассмотрим модель
dZ/dt=F{Z, Xі, t), (1.78)
предположив, что система имеет только один параметр состояния Z.
Универсальным методом нахождения закона распределения f(z) параметра состояния по известным законам распределения fi(Xi) возмущений, пригодным практически для любых математических моделей, является метод статистического моделирования (метод статистических испытаний, или метод Монте-Карло).
Сущность статистического моделирования заключается в том, что зависимость (1.78) параметра состояния от возмущений реализуется многократно, всякий раз при новых, случайных значениях Х{. Полученные случайные значения параметра состояния подвергаются статистической обработке подобно результатам натурных испытаний объекта. Иначе говоря, на математической модели, как аналоге рассматриваемого объекта, многократно «проигрывается» стохастический процесс функционирования. Каждая операция задания путем случайного выбора значений возмущающих параметров Х{, решения уравнения (1.78) и нахождения случайной реализации параметра Z(t), отвечающей этим возмущениям, называется пробой.
Статистическое моделирование основывается на формировании последовательности случайных чисел, подчиняющихся заданному закону распределения, причем исходным является равномерное распределение в интервале [0, 1].
Для получения случайных чисел используют таблицы случайных чисел", генераторы случайных чисел и алгоритмы формирования псевдослучайных чисел на ЭЦВМ.
Таблицы случайных чисел применяют только при расчетах вручную в связи с ограниченностью объема памяти ЭЦВМ.
В генераторах (датчиках) случайных чисел чаще всего используют собственные шумы электронных ламп, преобразуемые в серию импульсов. Если к моменту опроса датчика имеющийся в нем счетчик зафиксирует четное число импульсов, то это соответствует 1, в противном случае — это 0. Из нулей и единиц, выданных случайным образом датчиками, несложно получить далее случайные числа, равномерно распределенные в интервале [0, 1].
Наиболее распространенным является метод псевдослучайных чисел, состоящий в том, что по специальным алгоритмаім на ЭЦВМ формируется неслучайная последовательность чисел, которые обладают статистическими свойствами независимых случайных чисел, имеющих равномерное распределение. Получение последовательности таких псевдослучайных чисел представляет собой рекуррентный процесс: каждое последующее число образуется из одного или нескольких предыдущих путем несложных арифметических и логических операций.
Алгоритмы формирования псевдослучайных чисел основаны на имитации хаотического перемешивания содержимого разрядов правильной дроби, записанной в двоичном коде. Например, простейший алгоритм, предложенный Дж. Нейманом, так называемый метод середины квадратов, заключается в следующем. Произвольное число, состоящее из 2п двоичных цифр, возводится в квадрат. В результате, содержащем 4п цифр, отбрасываются по две цифры с обоих концов, остается «середина квадрата». Этот процесс повторяется многократно. Полученные «середины квадратов» представляют собой последовательность равномерно распределенных в интервале [0, 1] случайных чисел.
На практике применяются более сложные алгоритмы, дающие распределение лучшего качества. Так, в [22] рекомендуется процедура формирования. случайных чисел г,-, равномерно распределенных в интервале [0, 1], записываемая на языке Алгол-60 следующим образом:
procedure rav;
begin real г;
г : = и 1 м2; и1 : = и2;
if г > 4 then г: = г — 4;
ч’2 : = г;
rav: = /-/4;
end
Здесь rav -— идентификатор полученного случайного числа. Переменные и и и2 описываются во внешнем блоке, им присваиваются начальные значения ы1: = 3,14159265; и2: =0,542101887. Многократное (циклическое) обращение к процедуре позволяет получить последовательность равномерно распределенных случайных чисел.
2 1218
Числа, полученные на ЭЦВМ по специальным алгоритмам, строго говоря, не являются случайными, так как знание одного из них и рекуррентной зависимости позволяет однозначно определить все остальные числа. Ограниченность разрядной сетки ЭЦВМ не позволяет получить строгую равномерность распределения на данном интервале. Возможна повторяемость чисел с некоторой периодичностью. Поэтому обязательным этапом отработки алгоритма формирования последовательности псевдослучайных чисел является статистическая проверка ее качества: случайности, непериодично — сти, равномерности.
С помощью случайных чисел г,, равномерно распределенных в интервале [О, 1], достаточно просто модулируют случайные qoбытия. Пусть Р(А)—заданная вероятность некоторого случайного события А. Появлению события А ставится в соответствие попадание случайного числа г, на отрезок числовой оси от 0 до Р(Л). Считается, что событие А имеет место, если п^Р(Л). При моделировании нескольких случайных событий Аи А2, Л3,… случайные числа Гі, г г-н, г,+2, … последовательности сопоставляются аналогичным образом с вероятностями каждого из событий.
Моделирование сложного случайного события заключается в моделировании составляющих его простых событий описанным выше приемом и использовании теорем сложения и умножения вероятностей. Зависимые случайные события моделируют последовательно: сначала одно из них по безусловной вероятности его появления, затем другое — по условной или безусловной вероятности в зависимости от результата моделирования первого события и т. д.
Реализация Хі некоторой случайной величины X, имеющей математическое ожидание тх и среднее квадратическое отклонение ох, формируется при моделировании в виде
Х1 = тх+^х,
где — случайное число, позволяющее воспроизвести в серии проб заданный закон распределения случайной величины X; иначе говоря, |г есть реализация случайной величины подчиняющейся тому же заданному закону распределения, но с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
На практике обычно требуется моделировать случайные величины с отличными от равномерного законами распределения. Преобразование исходного равномерного в интервале {0, 1] распределения в заданное с плотностью }(х) можно осуществить различными методами [11].
Метод нелинейного преобразования, обратного функции распределения, основан на свойстве интегральной функции распределения, состоящем в том, что величина
(1.80)
распределена равномерно от 0 до 1. Решение уравнения (1.80) относительно х дает зависимость, преобразующую последовательность равномерно распределенных случайных чисел /у в последовательность случайных чисел Хь распределенных по закону f(x). Например, если f(x)—плотность экспоненциального распределения (см. табл. 1 приложения), то
xt =—— — In г і. (1-81)
Аналогично можно моделировать распределение Релея:
Хі = о/~ — 2 In/у. (1-82)
Далеко не всегда удается получить решение уравнения (1.80) в элементарных функциях. Иногда для моделирования случайных величин используются специфические свойства законов распределения. Так, моделирование нормального распределения основывается на центральной предельной теореме, согласно которой сумма достаточно большого числа п случайных величин, равномерно распределенных от 0 до 1, имеет распределение, близкое к нормальному с математическим ожиданием я/2 и дисперсией н/12. В алгол — программе для моделирования нормального распределения случайной величины X с математическим ожиданием тх=0 и средним квадратическим отклонением 0зс=1 при п=12 можно использовать процедуру [22]: procedure norm; begin real s; integer i; s: = 0; for і: = 1 step L until 12 do s: = s + rav; norm : = s — 6 end
Здесь rav — идентификатор приведенной выше процедуры получения равномерно распределенных от 0 до 1 случайных чисел.
Процедуры rav. и norm часто оформляются как стандартные подпрограммы. Используя их, можно моделировать другие распределения, например, с помощью следующей процедуры [22]: procedure у (ft, а, b, с, d, f, g, ft);
value к, a, b, с, d, f, g, h; integer ft; real a, b, c, d, f, g, ft; begin real si, s2; switch L : = l, 12, ІЗ, M;
.* 1 : rav; s2: = norm; go to L [ft];
l : у : = a X si + b; go to M;
/2 : у : = c + d X s2; go to M;
ІЗ : у : = sqrt ( — 2Х/Х/ХІП (sl>); go to M;
/ І: У : = ( — g X In (sl)) t (1/ft); go to M;
Л1 : end
Оператор, помеченный меткой /1, формирует равномерное распределение в интервале [а, Ь] оператор с меткой 12 — нормальное распределение с математическим ожиданием с и средним квадратическим отклонением d, оператор с меткой 13 — распределение
2*
Релея с параметром f (1.82), оператор с меткой 14 — распределение Вейбулла с параметрами g и h.
Преобразование нормально распределенной случайной величины X с математическим ожиданием тх и дисперсией ох2 в нормально распределенную случайную величину У с параметрами ту и о,,2 выполняют при моделировании по зависимости
¥=tn„+(X — тх)(ау/ох). (1.83)
Для моделирования усеченного распределения (рис. 1.6) обыч
или кусочной аппроксимации [11]. По методу Неймана из совокупности равномерно распределенных в интервале [0, 1] случайных чисел Гі независимо выбирают пары чисел Ги ги преобразуют их в пары гн=а+{Ь — а)гн и т]2г = = /т-Г2г, где [й, Ъ] ИНТерВЭЛ ВОЗ
МОЖНЫХ значений х, fm — максимальное значение плотности распределения f(x). В качестве реализаций моделируемой случайной величины принимают значения T]2i
начающсму, что соответствующие точки внутри прямоугольника abed лежат под кривой f{x). В справедливости такого приема нетрудно убедиться, поскольку вся площадь под кривой f(x) (см. рис. 1.6) равна единице, а вероятность попадания точки на этой площади в элементарную полоску с основанием Ах пропорциональна f(x). Метод Неймана обобщается и на случай формирования реализаций п-мерного случайного вектора с той лишь разницей, что. имитируют случайные точки не на плоскости, а в (п+1)-мерном объеме ПОД ц-мерной поверхностью f(xu Х2, …, хп).
Универсальным и сравнительно простым методом моделирования распределений является метод кусочной аппроксимации, предложенный Н. П. Бусленко. Сущность его при кусочной аппроксимации функции f(x) равномерным распределением состоит в следующем. Разобьем интервал [й, b] на т достаточно малых интервалов [йг, йі+і], в пределах каждого из которых распределение можно считать равномерным (см. рис. 1.6). Пусть Р, — вероятность попадания случайной величины X в интервал [йй,-+і]. Выберем длины интервалов такими, чтобы вероятность попадания в них была одинаковой и равной 1 /т. Получим, как и ранее, пару случайных чисел rXi, г2ї из равномерного распределения [О, 1]; первое из них используем для случайного выбора г’-го интервала с вероятностью Pi как реализации случайного события, второе — для формирования реализации моделируемой случайной величины: [4]
Для использования зависимости (1-84), являющейся рабочей,, необходимо иметь таблицу значений а,. Недостаток этого метода — неравномерная точность аппроксимации.
Для определения параметрической надежности важно уметь моделировать я-мерный случайный вектор Z параметров состояния изделия, т. е. систему я коррелированных случайных величин Zb Z2, …. Zn. Для этой цели более приемлемым по сравнению с упомянутым выше моделированием многомерных распределений методом Неймана оказывается моделирование в рамках корреляционной теории методом линейного преобразования, сущность которого сводится к следующему. Заменим вектор Z о коррелированными со-
—>-
ставляющими вектором X с некоррелированными центрированными составляющими так, что
Zj — mZl Xj;
Zj = d2X j — j — X2,
Z3 ftiz,—CI31X1 “Ь #32-^2 Z3;
Zn — mzn=anlX1—an2Xi—… — ап, п-Х n_x— X n.
Элементы ciij матрицы преобразования и дисперсии а2х. найдем по заданным математическим ожиданиям mz. и корреляционной
матрице Ки вектора Z из условия некоррелированности случайных величин Xt:
M[XrXj]=0 при і Ф у; /= 1, 2…… я; }= 1, 2,…, я, (1.86) где М — символ математического ожидания.
Находя последовательно математические ожидания произведений первого равенства (1.85) на второе, первого на третье, второго па третье и т. д., а также математические ожидания квадратов равенств (1.85) и используя условие (1.86), получаем зависимости для определения коэффициентов ац и дисперсий о*.:
ах1 — КIV —Кц1°хй °-tv—К. Ч 2 021ахъ
^31 = 7C3i/°jri; &32 = (^32 а2іаЗіаА-і)/°лг2; • ■ .
или в общем виде:
&і =:Кц1ахи t = 2,…, я;
&ij== (l/°ij) [Ки ■ airajr^r^ , j—2,…, і 1,
і—і
T-l
Таким образам, моделирование случайного вектора Z сводят к моделированию некоррелированных центрированных случайных’ величин Хі с дисперсиями и выполнению преобразования
(1.85).
Случайный процесс Z(t) моделируют аналогично многомерному случайному вектору, рассматривая фиксированные сечения либо как коррелированные случайные величины, либо используя каноническое разложение вида (1.73). При этом для стационарного случайного процесса наиболее простым является разложение в ряд Фурье, в котором роль координатных функций фг (t) играют тригонометрические функции. Можно, наконец, вводить в модель опытные реализации Zi(t), присвоив им номера и осуществляя случайный выбор очередной реализации с помощью равномерно распределенных случайных чисел. Более подробные сведения о технике статистического моделирования см. в [9], [11], [47].
Статистическое моделирование — универсальный метод, широко используемый в расчетах надежности. Однако он обладает двумя недостатками. Первый заключается в больших затратах машиного времени, обусловленных необходимостью выполнения большого числа N проб (50-^500 и более), так как точность моделирования пропорциональна VN’, вторым является «слепота» метода: в процессе моделирования не видно, как влияют возмущения на выходные параметры модели.
Поэтому наряду со статистическим моделированием на практике часто применяют различные приближенные методы, основанные на разложении интеграла уравнения (1-78) {в общем случае п параметров состояния — интегралов системы уравнений (1.72)] в степенной или тригонометрический ряд по случайным возмущающим параметрам Хі, а в простейших случаях — метод линеаризации. Эти методы применимы, если не требуется найти закон распределения параметра состояния Z, а достаточно определить его моменты (математическое ожидание mz, дисперсию а*)по известным моментам возмущающих параметров (тХг ах. и корреляционным моментам Кх;Х])-
Весьма эффективным с точки зрения экономии машинного времени при приемлемой точности является метод эквивалентных возмущений, основанный на разложении решения уравнения (1.78)
Z=y(Xi, t), i=l, 2,…, k (1.88)
в ряд Маклорена по степеням центрированных возмущающих па-
О
раметров Х[=Х, — mx.. Ограничимся при разложении членами
ф-й степени:
q k k k
где
д1<е
дХ, … ах, *1 ^ 1
Индекс 0 указывает на то, что частные производные вычисляются в точке {тх,, тХг,…, тХк]. Применяя к равенству (1.89) операцию математического ожидания, получим
Q k_ k
тг=ч{тх., O + •••
ГТ і, "’і
о о
где р/,…/ =УИ [Л-*,.. .Л”/] — центральные моменты связи случайных величин Л’ц А2,…, А-*; / = 1, 2,…,^; iv…, it— 1, 2,…, k.
Идея метода заключается в том, что вычисление громоздких производных(t) заменяется суммированием с необходимыми весовыми коэффициентами |33- конкретных реализаций Zj(t) параметра состояния при реализациях gij случайных величин Х{ для каждой j-й пробы, выбранных определенным образом. Можно показать [30], что величины и gfj должны удовлетворять условиям
2 2 (1-90)
где Л/ — число реализаций, которое должно удовлетворять условию
а>—i-a+9- (1.91)
k+
Согласно методу эквивалентных, возмущений, вычисляют начальный момент р-го порядка случайной величины Z:
(1-92)
где 2,- — частное решение, т. е. результат j-й пробы, проведенной при определенной комбинации неслучайных величин являющихся специально выбранными реализациями случайных величин А (эквивалентными возмущениями).
Центральные моменты вычисляют по начальным. Решения Zj уравнения (1.78) представляют собой функции времени t, поэтому расчеты моментов необходимо проводить при фиксированных значениях t.
Комбинации величин задаются так, чтобы часть коэффициентов рj обратилась в нули. Этим сокращается число необходимых интегрирований уравнения (1.78). Решение существенно упростит-
ся, если случайные величины Хі некоррелированы. При этом допущении, в простейшем случае <7=2, условия (1.90) имеют вид:
1 1; І РА?=0; І р$=<£; 1=1, 2,…, k-
Т (1.93)
2 її Ф hi ii ^2=1> 2,…, k.
j=і
Рекомендуется [30] проводить N=k+2 пробы, вводя значения І а в k пробах последовательно, по одному: в (&+1)-й пробе — все’ одновременно, в (&+2)-й пробе — также все одновременно, с обратными знаками. Система уравнений (1.93) имеет при этом следующее решение:
У k; ру= l/k і= 1, 2,…, k; h+i=-H2k; %+2=l/2k.
Рассмотрим схему решения, предложенную для этого случая Б. Г. Доступовым [30]. Реализации возмущений удобно формировать, полагая %1}==ас1}о^, где а — некоторый постоянный мно
житель. Величины Сц принимают равными нулю или единице в порядке, указанном в табл. 1.2 для N=k+3 проб. Если положить <т=3, то становится ясным физический смысл этого параметра: величина представляет собой в этом случае при нормальном распределении предельное отклонение ДХі случайной величины Хі.
Таблица 1.2
|
Очевидно, что (&+3)-я проба отображает нсвозмущенное функционирование. На практике удобно задавать не средние квадратические отклонения °Xi возмущающих параметров, а коэффициенты вариации
Vxi—axjm хг ‘ (1.95)
В этом случае выражение (1.79) принимает вид *
■Xij=mXl(1 — faCijVXi) /== 1, 2,…, k j=, 2,…, /г + З. (1.96)
По результатам Zj(t), полученным при (£+3) пробах в фиксированных сечениях t—ta с выбранным шагом, рассчитывают математическое ожидание параметра состояния:
* — >
I гк+2— gft+1
‘ 2
7-І 1
(1.98)
Нетрудно заметить, что при a-l^k эти выражения соответствуют рекомендациям (1.94).
Для решения задачи на ЭЦВМ с применением языка Алгол-60 можно рекомендовать следующую процедур"^: procedure dost; begin integer array с [1 : k, for і: = 1 step 1 until k do for j: = 1 step 1 until k do if і = j then c [i, j?]: = 1 else c [i, j]: = 0; for і: = 1 step 1 until k do begin j: = k 4- 1; c [/; j]: = 1;
jr: = ft 4- 2; c [i, J]: — — 1; j — = k +3; c [і, Д : =0;
end;
for j:= step 1 until k + 3do
begin for і: = 1 step 1 until k do
x [*‘> Л: = к[<]Х(1+вХс [і, j] X vx [/]); F;
end;
sum: = 0; for J : = 1 step 1 until k do sum : = sum + z [/];
mz — (sum + (z [k — f 2] — z [k + 1 ])/2)/(a Xa) +
г [ft + 3] x (1 — k/(aX e));
sum: = 0; for j: = 1 step 1 until ft do sum: = sum + (z [J]) f2;
sz: = sqrt {(sum + {(z [ft + 2])f2 — (z [ft + 1])| 2)/2)/(a X a)
+ (г [ft +3])t 2 X (l —k/(a X a)) — mz X mz);
end.
В процедуре приняты следующие индентификаторы: F — процедура решения уравнения (1.78); mz и sz — математическое ожидание п среднее квадратическое отклонение параметра состояния Z; тхЩ и vx[i—математическое ожидание и коэффициент вариации возмущающего параметра Хі. Эти переменные, а также i, j, k, а, sum описываются во внешнем блоке.
Рассмотренный метод можно распространить и на общий случай [модель (1.72)]. Метод эквивалентных возмущений не дает возможности найти закон распределения параметра состояния Z, но
зато позволяет выявить влияние, оказываемое на него каждым возмущающим параметром в отдельности. С увеличением степени. q аппроксимирующего полинома повышается точность, но одновременно растут и затраты машинного времени. Схемы расчета, дающие экономию, аналогичные табл. 1.2, для q—3 и <7 = 5 приведены в книге [30]. Метод эквивалентных возмущений оказывается более удобным при сравнительно небольшом числе возмущений.
Широко распространен на практике метод линеаризации (метод малых возмущений), идея которого состоит в аппроксимации’ нелинейной в общем случае зависимости (1.88) линейной, статистически эквивалентной исходной зависимости. Метод основан на допущении малости случайных отклонений возмущающих параметров Хі от их математических ожиданий гпх.. Он удобен, если зависимость параметра состояния Z от возмущающих параметров Хі имеет явное однозначное аналитическое выражение
Z=?(Xe); /=1, 2,…, k (1.99)
при известных (обычно нормальных) законах распределения случайных величин Хі.
Разложим функцию (1.99) и ряд Тейлора в окрестности точки («V, mXs,…, mXji) относительно центрированных возмущений, сохранив только линейные члены ряда:
тХг,…, ш, ) + 21 {ду/дхІ. (1.100)
к i~ 1
Индекс «т» при частных производных указывает на то, что их вычисляют в точке (mXt, mXs,…, mXjt). По теоремам о математическом ожидании и дисперсии линейной функции
т2^т(т^, тХг,…, тх^ (1.101)
°’аі/ (іло2>
г /-1 і < і
где rXiXj — коэффициент корреляции величин Х{ И Xj.
Обозначение i<j указывает на то, что суммирование распространяется на все возможные парные сочетания величин Xt и Xj. Производные dq>/dXi представляют собой коэффициенты влияния возмущений Хі на параметр состояния Z. Если величины Хі и Xj некоррелированы (г*,.»^0) то в (1.102) сохраняется только первая сумма под радикалом:
(1.103)
Для упрощения следует по возможности так выбирать рассматриваемые возмущения, чтобы на основании каких-либо физических
соображений их можно было считать независимыми. Выражениями, аналогичными (1.103), можно представить коэффициент вариации vz или предельное отклонение Az параметра состояния, используя соответственно коэффициенты вариации vх. или предельные отклонения Ахі возмущающих параметров.
При проектировании обычно бывают известны расчетные (средние) значения Хі и возможные Предельные отклонения Ах І (допуски) возмущающих параметров. Их используют в расчете параметрической надежности: вместо математических ожиданий тх1
подставляют значения хі, а средние квадратические отклонения находят как
сх=Ах,/кіт, (1.104)
где k y—число средних квадратических отклонений, соответствующее вероятности у, с которой случайные отклонения, превышающие Ахі, считают практически невозможными. Например, значению /ет=3 при нормальном распределении соответствует у=0,9973.
В частном случае зависимость (1.99) представляет собой произведение степенных функций некоррелированных возмущений:
к
Z— П Аг“‘- (1.105)
Г =»1
Логарифмирование и дифференцирование ее дает dZJdXi =
/ = 1, 2, …, k, на основании чего
= a*vlr (1.106)
“ «=1
Точность метода линеаризации зависит от степени нелинейности функции (1.99) и малости отклонений возмущающих параметров. В целях уточнения результата можно сохранить в разложении (1.100) члены порядка выше первого. В частности, при сохранении членов второго порядка, независимости и нормальном распределении возмущений:
к
mz 3=: 9 (mXl, тх„-у ^ (д2<р/дХЇ)таІҐ (1.10 7)
/"і
Г і = 1 1—1 1/т I < у
(1.108)
Сопоставляя (1.101), (1.107) и (1.102), (1.108), можно оценить погрешность линеаризации.
1. Дайте определения безотказности, долговечности и ремонтопригодности изделия.
2. В чем заключаются различия между дефектом, неисправностью и отказом?
3. Дайте определения внезапных и параметрических отказов.
4. Чем обусловлено деление ЛА как сложной системы на элементы для расчета надежности їв период проектирования?
5. Что является количественной характеристикой надежности элементов одноразового срабатывания?
6. Перечислите количественные характеристики надежности невосстанавлива— емых элементов непрерывного функционирования.
7. Напишите зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности отказов.
8. Какую интенсивность отказов элемента в режиме нормальной работы можно допустить, если его надежность в течение 1000 ч должна быть не ниже 0,95?
Ответ: Лг^5- 10~ь 1 /ч.
9. Как учитываются при определении надежности отличия условий и уровня нагрузки элементов от номинальных?
10. Что понимают под коэффициентом готовности?
11. Составьте структурную схему, надежности системы, условие безотказности которой сформулировано следующим образом: система безотказна, если безотказны первый, второй и третий, а также четвертый или пятый элементы. Рассчитайте структурную надежность, полагая вероятность безотказной работы каждого элемента равной 0,9.
Ответ: 0,72171.
12. Дайте определение параметрической надежности и поясните его на примере одного ‘параметра состояния.
13. Давление на выходе газового редуктора имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 5-Ю5 Н/м2 и средним квадратическим отклонением 6,5-104 Н/м2. Падение давления ниже 3-10;> Н/м2 расценивается как отказ. Определите параметрическую надежность.
Ответ: 0,998965.
14. Параметры состояния Z[(t) и Z2(/), представляющие собой нормальные стационарные случайные процессы с нормированными корреляционными функциями р] (т) = е—0,4tcos 0,6т и Р2(т) = е—°’2” cos 0,8т, соответственно имеют одинаковые математическое ожидание и дисперсию. Выброс какого из них за заданный предел R в течение фиксированного времени Т более вероятен?
Ответ: первого.
15. В чем заключается сущность статистического моделирования?
16. Используя зависимость (1.80), получите выражение для преобразования последовательности равномерно распределенных от 0 до 1 случайных чисел г» в последовательность случайных чисел Хі, имеющих распределение Вейбулла.
т.—————
Ответ х, = у — х0 In r-t.
17. В чем заключается сущность метода эквивалентных возмущений? Какие преимущества и недостатки имеет этот метод по сравнению с методом статистического моделироваиия?
18. Охарактеризуйте область применения метода линеаризации в расчетах параметрической надежности.