ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ ПОДДЕРЖАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ В ГОТОВНОСТИ К ПРИМЕНЕНИЮ НА ОСНОВЕ ПОЛУМАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ

Рассмотрим возможности постановки и ре­шения задачи оптимизации вектора Х(^) параметров системы эксплуа­тации ЛК при найденных требуемых (оптимальных) выходных пока­зателях (t) системы. Эта, вторая по иерархическому уровню, задача оп­тимизации программы эксплуатации системы ЛК в общем виде была сфор­мулирована в § 7.1 [см. (7.14) и (7.15)1.

Для решения подобных задач в соответствии с последовательностью, установленной в §7.1, дадим описа­ние системы эксплуатации ЛК, ко­торое позволит выделить вектор Х(/) оптимизируемых параметров.

Полагаем, что оптимизируемые параметры Х(/) = (xv (0} мало і. тшісят от времени эксплуатации, например определяют систему жсплуатации ЛК после проведения основных доработок или на каком — либо интервале (не обязательно малом), в течение которого можно пренебречь их изменением. На рис. 7.5 показано характерное измене­ние параметра xv (t) системы эксплуатации и возможное представление сто в виде постоянных величин.

Один из вариантов описания части системы эксплуатации — под­системы или системы поддержания ЛК в готовности к применению но назначению — был приведен в § 3.2. Система поддержания ЛК в готовности (СПГ ЛК) определяется структурой контроля технического состояния комплекса, его ТО и устранения неисправностей (восста­новления готовности), а также совокупностью соответствующих па — р. зметров (периодичностью и продолжительностью различных видов ТО, ошибками первого и второго рода при контроле, продолжитель­ностью восстановления готовности и т. п.). Совокупность оптимальных по некоторому критерию значений этих параметров определяет основ­ную часть программы эксплуатации комплекса и системы ЛК.

Остальные характеристики программы эксплуатации ЛК могут ^ быть установлены при анализе и синтезе подсистем: ввода комплекса і в эксплуатацию, приведения в готовность к применению, ремонтов основных элементов ЛК, хранения, сбережения и снабжения комплек­сов ЗИПом и др. Однако система поддержания ЛК в готовности опре­деляет структуру всех других подсистем, так как именно она обеспечи­вает высокое значение основных выходных показателей системы эксплу­атации в целом.

В связи с этим рассмотрим далее задачу оптимизации параметров СПГ ЛК — В соответствии с общей постановкой задачи (7.15) необходимо на основе описания и построения модели СПГ найти вектор оптимизи­руемых параметров X = {xv }, целевую функцию и функцию огра­ничений. Важно заметить, что целевая функция должна включать только часть Сэ функции стоимости эксплуатации системы ЛК (6.24), {6.25), а функции ограничений — часть R обобщенного показателя на­дежности (3.15), (3.16), чтобы обеспечить их критичность к оптимизи­руемым параметрам СПГ как части общей системы эксплуатации.

Наиболее удобной моделью СПГ является структура, представляе­мая состояниями, в которых пребывает элемент, включающий одну ПУ ‘ (с ЛА), аппаратуру для контроля их технического состояния, персо­нал и оборудование для проведения ТО и восстановления готовности. Такой элемент часто называют одноканальным летательным комплек­сом. В соответствии со структурой системы ЛК, показанной на рис. 6.1, его можно представить пусковой установкой с ЛА, 1/п-ной частью элементов единичного ЛК, обеспечивающих контроль техни­ческого состояния, 1/(шп)-ной частью элементов ЛК, предназначенных для проведения ТО и восстановления готовности ПУ.

В § 3.2 (см. рис. 3.2) в качестве примера был приведен граф состоя­ний СПГ одноканального ЛК и показаны различные направления пе­реходов СПГ из одного состояния в другое. Математическое описание такой СПГ как некоторого обобщенного элемента удобнее всего вести на основе теории тлумарковских процессов, которая позволяет при относительно небольшом числе состояний получить конечные анали­тические выражения для искомых целевой функции и функции огра­ничений через параметры СПГ. В общем случае (см. § 3.2) на основе этой же модели можно найти конкретные характеристики СПГ, исполь­зуя метод статистического моделирования, однако решение задачи оптимизации в этом случае затруднительно или невозможно.

Рассмотрим коротко сущность марковских (МП) и полумарковских (ПМП) процессов и приведем без подробных доказательств некоторые формулы, необходимые для их описания, чтобы на этой основе дать математическую постановку задачи оптимизации параметров СПГ. При рассмотрении положений теории МП и ПМП используем труды [6, 8, 9, 20, 29, 30, 34, 36, 37, 39, 41, 62, 66, 73], однако за основу при­мем разработки В. В. Блаженкова, отличающиеся ясностью изложе­ния и глубоким раскрытием физической сущности математических моделей. *

Полумарковские процессы введены независимо и почти одновремен­но в 1954—1955 гг. П. Леви, В. Смитом и Л. Такачем. Полумарковские
процессы представляют собой непосредственное обобщение хорошо и ivioinibix в теории вероятностей цепей Маркова.

Марковский процесс с непрерывным временем опишем следующим пиратом. Рассматриваемый элемент одновременно может находиться п одном н только одном состоянии і = 1,2, …, п из множества Е ВОЗ­МОЖНЫХ (і 6 Е). В фиксированный момент t = 0 элемент находится и одном из состояний і 6 Е и проводит в нем случайное время ть распределенное по экспоненциальному закону с параметром сщ> 0; II момент t = Ті элемент мгновенно переходит в новое состояние j 6 Е С вероятностью Pij >0, Причем У p. j 1 для любого і 6 Е. В со­

стоянии j элемент пребывает случайное время т2, распределенное по іксмопенциальному закону с параметром ы}> 0, и т. д.

Вели время пребывания элемента в любом t-м состоянии до перехо­да и /-е состояние есть случайная величина с произвольной функцией распределения, то процесс называют полу марковским.

Существует несколько способов задания ПМП. Рассмотрим тот, который удобнее использовать при решении практических задач. 11ол у марковский процесс определен, если заданы: 1) граф состояний, т. е. состояния і = 1, 2, .., п (і 6 Е) и возможные переходы {г/};

2) матрица Q = Qu(l) независимых функций распределения вре­мени пребывания элемента в /-м состоянии перед переходом в /-е состояние, если бы данный выход из состояния і был единственным; .'() начальное состояние в момент t = 0.

На основе этих исходных данных могут быть найдены различные характеристики ПМП, среди которых всегда определяются вероятности /і, і перехода из состояния і в состояние / в момент скачка, а также безусловные математические ожидания /г- времени пребывания элемен — ІЛ В 1-м состоянии.

Для расчета рц и tt далее используем вероятности и математиче­ские ожидания, определения которых весьма похожи, поэтому читатель должен быть особенно внимателен при введении новых характеристик. І Іачпем с определения величины ptj. В соответствии с функциями рас­пределения Qij(t) существуют случайные моменты ti} переходов из со­стояния і во все смежные с ним /, но реализуется одно из них, име­ющее меньшее значение:

h = min tu.

ieE

Следовательно, вероятность перехода из состояния і в состоя­ние / за время не более t есть вероятность сложного события, заклю­чающегося в том, что элемент будет пребывать В 1-м состоянии в тече­ние времени t и что в момент t он перейдет именно в /-е состояние.

Сведем условную функцию распределения т. е. вероятность

I Ml II, что время пребывания в состоянии і не превосходит t, при усло­вии, что из состояния і процесс переходит в состояние у. Тогда за время не более t вероятность перехода из состояния і в состояние у

Рц (0 = Fu (0 Pij ■

Вероятность Pij(t) зависит от наличия других направлений перехо­да k ф /, характеризуемых функциями Qik(t). Вычислим вероятность невыхода из состояния і за время г по направлениямk ф /. Вейлу не­зависимости Qikix) получим

П [1 — QlfcM]. (7.76)

кф

Вероятность перехода по направлению j в окрестности момента т равна dQij(т). Тогда искомая вероятность перехода из состояния і в состояние / за время не более t

t

Pu(0 = f П (1 — Qik(т)] dQu (т), (7.77)

•а для неограниченного времени (Fu(t) = 1) в силу (7.75)

оо

Ри(<*>) = Pif n[l_QJk(t)]dQ„(T). (7.78)

о k*>

Безусловная функция распределения Ft(t) времени пребывания в состоянии і

Pi (0 = 2 PijPii (0 = 2 Рц it). (7.79)

ІЄЕ /Є£

Получим более удобную для вычислений зависимость. По аналогии с (7.76) вероятность невыхода из состояния і по всем направлениям / за время не более t

п [l-Q«(0b

тогда вероятность пребывания в состоянии і в течение времени, мень­шего /, т. е. безусловная функция распределения

Pi(t)= 1- П [1-<Ы0Ь (7.80)

ієВ

Если известна функция распределения случайной величины t да интервале (0, оо), то ее математическое ожидание

т. е. переходы из состояния і в состояние / происходят через единицу времени, то ПМП вырождается в цепь Маркова с дискретным време­нем.

Полумарковский процесс, рассматриваемый только в моменты пе­реходов, определяется матрицей Р = [рц], и, следовательно, сводится к марковской цепи, в которой предыстория процесса до по­падания в состояние і не влияет на его дальнейшее поведение.

Такой марковский процесс, содер­жащийся в полумарковском, называют вложенной марковской цепью (ВМЦ).

Характерный вид реализации ВМЦ по­казан на рис. 7.6, где по оси ординат отложены возможные состояния (і = 1,

2, …, п) процесса, а по оси абсцисс — неслучайное, равное единице, время пребывания в данном состоянии [см.

(7.83)]. Если длина каждой ступеньки на рисунке станет случайной с про­извольной функцией распределения, то получим реализацию ПМП, а при экспоненциальном распределении времени пребывания в каж­дом состоянии — марковский процесс с непрерывным временем.

Для рассматриваемого класса инженерных задач полной характери­стикой являются стационарные вероятности Рг £-го состояния ПМП, которые можно найти как отношение среднего времени tt пребывания в г’-м состоянии к среднему интервалу времени ти между последователь­ными попаданиями в это состояние:

Pi = Ti/rii. (7.84)

Характеристики тгг в ряде конкретных задач являются искомы­ми величинами, так как определяют, например, средние сроки эксплу­атации между ремонтами, обслуживаниями, неисправностями и т. п. Величина %ц может быть определена через средние времена tt пребы­вания в t-м состоянии и стационарные вероятности состояний П = = (лг| вложенной в рассматриваемый ПМП марковской цепи:

(7.85)

(7.86)

С учетом (7.85) выражение (7.84) можно представить в виде

Рі=кіГіі7. (7.87)

Если все tt = ti одинаковы, то получим Ц = t, так как для любого марковского процесса, в том числе для ВМЦ, справедливо

S — 1.

i=l

При этом

Pi = Я,, (7.89)

т. е. если ПМП во всех состояниях пребывает в среднем одинаковое время, то стационарные вероятности пребывания в состояниях для ПМП и ВМЦ совпадают.

Для определения величин л; может быть использована система из п уравнений, которые записываются в соответствии с формулой пол­ной вероятности в виде

^ = 2 К]Рл (і = 1. 2,…, п). (7.90)

ІЄЕ

Выражения (7.90) и (7.88) образуют систему п — J — 1 уравнений с п неизвестными. Для ее решения необходимо обязательно использовать нормирующее условие (7.88), а одно из уравнений (7.90), например наиболее сложное, исключить. Такая система при п < 5-р 8 легко решается вручную последовательной подстановкой неизвестных.

Важная характеристика ПМП — затраты на его выполнение. Вве­дем показатель средних затрат на пребывание элемента в 1-м состоянии:

Ci = Cii7i + 2lPifiij, (7.91)

где Си — средние затраты за единицу времени пребывания в t-м со­стоянии; Сп — средние затраты на переход из і-го состояния в /-е.

Конструкция показателя С; (7.91) очевидна: первый член — это средние затраты за непосредственное пребывание в состоянии і; сум­ма — средние затраты на выход из него. В простейшем случае мож­но считать, что все затраты пропорциональны времени пребывания в t-м состоянии, т. е. Сц = 0 и

Ct = Cjt. (7.92)

Используя показатель (7.91), можно получить более общую для ПМП характеристику средних затрат за единицу времени процесса:

Числитель показателя (7.93) представляет собой средние затраты за один переход, а знаменатель — среднюю продолжительность одного перехода. Подставляя в (7.93) выражение (7.91), получим

(7.94)

«

При вычислении показателя С значения показателей Ciit Ciit

образующих квадратную матрицу С = {СгД, предполагаются из­вестными.

Таким образом, если заданы граф состояний, матрица Q = = ШО) независимых функций распределения времени пребыва­ния элемента в і-м состоянии перед переходом в /-е, если бы данный выход был единственным, а также матрица С ={С,/} затрат на пре­бывание в і-м состоянии и переход из него в у-е, то можно вычислить следующие характеристики ПМП:

1) вероятности Ра перехода из состояния і в состояние / в момент скачка — по (7.78);

2) средние продолжительности ti пребывания в і-м состоянии — по (7.82);

3) матрицу П — {лг} стационарных вероятностей состояний ВМЦ для данного ПМП решением системы из уравнения (7.88) и любых п — 1 уравнений (7.90);

4) среднюю продолжительность одного перехода — по (7.86);

5) средние интервалы времени Тц между последовательными попа­даниями ПМП в одно и то же состояние — по (7.85);

6) стационарные вероятности Pt состояний ПМП — по (7.87);

7) средние затраты С за единицу времени ПМП — по (7.94).

Для расчета перечисленных характеристик необходимо решить систему из п сравнительно простых алгебраических уравнений при определении величин т. г. При достаточно сложных законах распределе­ния Qij(t) могут встретиться трудности при вычислении интегралов (7.78) и (7.82), однако величины pi} и tt обычно имеют довольно про­стые выражения.

Заметим, что найденные по (7.87) вероятности Дг пребывания в раз­личных состояниях позволяют легко вычислить такие показатели ЛК, как коэффициент технического использования, вероятность пребыва­ния ЛК в состоянии скрытого отказа и другие составляющие обобщен­ного показателя надежности, т. е. находить функцию ограничений в задаче оптимизации параметров системы поддержания ЛК в готовности. При этом выражение (7.94) может быть использовано как целевая функ­ция, а оптимизируемые параметры X = {xv } СПГ обычно являются параметрами распределений Qu(t), от них иногда зависит и матрица С:

Qu (t) = QtJ (іt, X); С (X) = {Си (X)}. (7.95)

С учетом полученных выше зависимостей приступим к постановке задачи оптимизации вектора X параметров системы поддержания ЛК в готовности к применению, заданной ПМП, для которого известны граф, включающий i=l,2, .., п состояний; матрица Q(X) = {Qu(t, X)}; матрица С(Х) = <Сгі(Х)}.

В такой задаче в качестве ограничений могут быть использованы какие-либо известные функции С(Р;) от вероятностей Pt пребывания СПГ в t-м состоянии. Например, если состояние і = 1 — работоспо­собное, то, по определению, вероятность того, что в случайный момент времени элемент (одноканальный ЛК) находится в работоспособном состоянии, является коэффициентом технического использования или
коэффициентом готовности (см. § 3.1, 3.2). При этом в качестве одного из возможных ограничений можно принять

К т. и(Х) = Р1(Х)>/Ст. и.тр,

где /(т. н.тГ — Требуемое значение величины Кт. п — Таким образом, в общем виде функция ограничений

G(X) = G[Pf(X)]; X = (xv };

где xv„, xVB — нижний и верхний пределы изменения оптимизируе­мого параметра Хч.

Сформулируем словесно постановку задачи оптимизации парамет­ров СПГ ЛК, заданной ПМП [графом, матрицами Q(X) = {Qa(t,)} и С (X) = (С;7(Х)}1: найти такие значения вектора X = {xv } па­раметров СПГ ЛК на интервалах допустимых значений (xv„, xVB), при которых выполняются ограничения на функции G [Рг(Х)[ от ве­роятностей пребывания ЛК в различных состояниях, а затраты в единицу времени функционирования СПГ минимальны.

В соответствии со словесной постановкой задачи и зависимостями (7.94), (7.78), (7.82), (7.90), (7.89), (7.86), (7.87), (7.96) математиче­ская постановка задачи принимает следующий вид:

7^7 S"i(X) [ад(Х)+ 2Pj'(X)C”(X)]=min;
PuW = 7 П [1 — QiK(t< X)] dQu(t, X);

0 кФІ

со

U (X) = Г П[1 — Qu(t, )]dt;

б’ ш

(X) = 2 r. j (X) рн (X); (і=1,2…………………. (п — 1));

Іфі

23 ^і(Х) = і;

*= 1

t (X) = jU(X)MX);

І— 1

Pi (X) = (Х)7 (X)/1 (X);

G [Рг (Х)| > GTp;

х = {* j; *v„ < xv < xvb •

При решении задачи (7.97)—(7.105) известны величины п* си (X), Сгі(Х), Qij{t, X), GTp, Хуи, хув.

Задача (7.97)—(7.105) распадается на последовательное определе­ние величин Ри{Х), ti(X) по формулам (7.98) и (7.99); решение системы уравнений (7.100) и (7.101); вычисление функций /(X) и Рг(Х) по (7.102) и (7.103); решение задачи оптимизации при целевой функции (7.97) и ограничениях (7.104), (7.105).

В общем виде целевая функция и функция ограничений (7.104) нелинейны. Однако можно показать, что для обычно используемых ви­дов распределений Qa{t, X), в том числе и описывающих переходы через неслучайное время [см. (7.84)], функции (7.97) и (7.104) — выпук­лые. Таким образом, задача (7.97)—(7.105) относится к классу задач выпуклого программирования и обычно решается методами динами­ческого программирования, так как в ней имеется четко выраженная этапность (последовательные переходы ПМП из состояния в состояние).

Однако при сравнительно малом числе состояний, когда последо­вательное определение математических ожиданий £{(Х), /(X), вероят­ностей ри{Х) и Рг(Х) по зависимостям (7.98)—(7.103) дает обозримые функции (7.97) и (7.104), могут быть использованы обычные методы выпуклого программирования (например, градиентный).

Особенно удачен такой подход, если можно в целевой функции счи­тать все Ci} = 0, что соответствует обычно негрубому допущению о пропорциональности расходов на пребывание в і-м состоянии времени пребывания в нем, при котором платой за переход можно пренебречь. При этом задача оптимизации сводится к следующей постановке:

П

-і — У Сн (X) гг (Х)7г (X) = min; (7.107)

G[P;(X)]:»GTp; (7.108)

х={*,}: (7-109)

В задаче (7.107)—(7.109) предполагаются известными величины п, С и, GTP, xv„, xVB и функции7(Х), лг(Х),7г(Х), Рг(Х).

Возможности решения задачи оптимизации параметров X системы поддержания ЛК в готовности к применению продемонстрируем в § 7.6, а учет изменения вектора X в процессе эксплуатации — в § 7.7.