Критерий эффективности испытаний. Математическая модель испытаний

Как уже отмечалось ранее, комплексная программа испытаний, про­водимых в процессе проектирования изделия, обладает всеми свой­ствами, определяющими понятие сложной системы. Поэтому для оценки качества испытаний могут быть использованы все основные характеристики, принятые в общей теории систем. Наиболее общей характеристикой сложных систем принято считать эффективность, под которой понимается степень соответствия сложной системы сво­ему назначению.

Анализ роли испытаний на каждом этапе проектирования, про­веденный в разд. 1.5, позволяет рассматривать их в виде своеобраз­ных обратных связей, направленных на корректировку текущей эф­фективности изделия.

Исходя из такой интерпретации процесса испытаний, в качестве технического критерия эффективности испытаний можно принять

выходной эффект Q испытаний, равный разности AW между задан­ным W3 и текущим Означениями эффективности объекта (рис. 3.1).

Однако такой критерий не учитывает затрат, необходимых для дости­жения требуемого значения эффективности, причем под затратами может пониматься как время, так и стоимость испытаний. Для учета затрат следует использовать обобщенные критерии эффективности вида Q = W/S, где S — затраты на достижение выходного эффекта.

Рис. 3.1. Схема управления процессом проектирования

В рамках рассматриваемого подхода процесс оценивания ресурс­ных затрат на отработку изделия в наиболее общем виде описывается следующей системой уравнений:

N

с = X(Со/ + ДQ) t AQ = АСі(П’),

/ = 1

/=1

где С, T — суммарная стоимость и длительность реализации комп­лексной программы испытаний соответственно; N — число этапов

отработки; ц — время /-го этапа; п[ — число испытаний на /-м этапе;

W — эффективность на /-м этапе; At — параметры, зависящие от структуры процесса испытаний и характеризующие изменение эф­фективности на /-м этапе; Со/, АС/ — соответственно базовые и теку­щие затраты на /-м этапе.

Выбор критерия эффективности производится в зависимости от класса изделий. Так, для серийных изделий авиационной и ракетной техники в качестве критерия эффективности выбирают стоимость. Задача оптимизации комплексной программы испытаний при этом формулируется следующим образом:

С = min, WN>fV3, Т<Т39

и

где W39T3 —■ соответственно заданные значения эффективности и вре­мени на разработку. Ограничение по времени часто снимается.

Оптимизационными параметрами и в зависимости от постановки

задачи могут являться базовые Со/ и текущие АС/ ~ щ затраты, от­дельные параметры моделей изменения эффективности А/3 а также сами значения эффективности W, определяющие момент перехода

на следующий уровень отработки.

Практика проектирования показывает, что при применении оп­тимальных программ экспериментальной отработки затраты на раз­работку удается сократить на 10—20%. При проектировании уникаль­ных объектов космической техники стоимость разработки обычно не является жестким ограничением. Так, расходы, связанные с выпол­нением некоторых космических программ, превышали первоначаль­но намеченные суммы в 10 раз. В то же время сроки разработки выдерживаются достаточно строго и составляют: для космических аппаратов 3—4 года, для баллистических ракет дальнего действия и ракет-носителей 5—6 лет.

Для изделий данного класса наиболее рациональной является сле­дующая постановка задачи оптимизации:

Т = min, Wn>W39C<C3,

и

причем ограничение по стоимости в ряде случаев может не учиты­ваться.

Для определения количественных оценок эффективности необ­ходимо получить зависимости, связывающие текущую эффективность со временем и стоимостью испытаний. Для этого необходимо прежде всего определить понятие эффективности разрабатываемой системы. Как известно, под эффективностью понимается степень приспособ­ленности системы к выполнению соответствующих ей функций в оп­ределенных условиях в течение заданного времени. Вследствие не­полной идентичности отдельных изделий, изменения условий функ­ционирования, влияния дефектов и ряда других случайных факторов эффективность системы ЛА является, как правило, случайной вели­чиной, или функцией времени.

Часто в качестве показателя технической эффективности прини­мают вероятность выполнения системой поставленной перед ней за­дачи. Любое испытание, проводящееся в процессе разработки изде­лий, направлено на выявление дефектов. Устранение дефектов приводит к повышению эффективности изделия. Степень повыше­ния эффективности в процессе экспериментальной отработки может быть различной и зависит как от специфики проектируемой систе­мы, так и от конкретного содержания испытательных программ, при­нятой методики испытаний, совершенства испытательного оборудо­вания и ряда других факторов.

При экспериментальной отработке новых изделий встречается большое количество конструктивных отказов, требующих для их уст­ранения проведения различного вида доработок. Успешно проведен­ные доработки повышают эффективность разрабатываемых изделий. Таким образом, надежность и эффективность изделий в процессе их экспериментальной отработки не остаются постоянными, они повы­шаются. Это целенаправленное повышение эффективности необхо­димо учитывать при оценивании показателей надежности и эффек­тивности.

В настоящее время в практике обработки данных испытаний встре­чаются два упрощенных подхода к учету конструктивных отказов. Пер­вый заключается в исключении из выборки конструктивных отказов и расчете показателей надежности по оставшимся экспериментальным данным. Такой подход не учитывает повышения надежности и приво­дит к заниженным оценкам. Второй подход базируется на допуще­нии, что устраненный отказ не является отказом и может быть заме­нен успешным испытанием. Этот подход не учитывает возможности неудачных доработок и приводит к завышенным оценкам. Объектив­ную оценку можно получить, используя модели роста надежности или эффективности в процессе экспериментальной отработки.

Учитывая целенаправленный характер деятельности при экспе­риментальной отработке изделия, можно ожидать, что повышение эффективности описывается некоторой регулярной функцией затрат. Исходя из физических ограничений, модели роста эффективности должны удовлетворять перечисленным ниже условиям.

Пусть Щ) — затраты, связанные с повышением эффек­тивности от Щ-1 до Щ. Тогда. При этом:

• (Щ-1, Щ) не убывает по Щ при фиксированном и не рас­

тет по Щ- при фиксированном Щ. Если Щ- <Щ< Щ+і, то

StW-1, w,)+stWt, wM) = sM-uWm);

• Sj(0,Щ-і) обладает производной S’, (И^_і), причем Щ_ строго возрастает в интервале 0 < Щ_і < 1;

Данные ограничения, накладываемые на вид искомой функции, настолько слабы, что им удовлетворяет бесконечное множество не­прерывных функций.

При решении ряда практических задач планирования и управле­ния процессом экспериментальной отработки изделий наиболее час­то используется экспоненциальная модель роста эффективности:

W = а — (а — Wq) ехр{-0/},

где 0 — интенсивность обнаружения дефектов.

Как показала практика статистической обработки информации, полученной при испытаниях, эта модель достаточно хорошо согласу­ется с экспериментальными данными. Она может быть получена пу­тем проведения аналогии между понятиями теории надежности и ос­новными характеристиками, определяющими процесс обнаружения дефектов при испытаниях. Такой подход позволяет достаточно про­сто построить модель динамики эффективности сложных систем по результатам испытаний отдельных ее компонентов. Простота зависи­мостей, связывающих показатели модели динамики эффективности системы с соответствующими показателями составляющих систему компонентов, делает экспоненциальную модель особенно удобной для решения задач организации процесса экспериментальной отра­ботки.

Обоснование структуры математической модели роста эффектив­ности основано на свойствах процесса обнаружения дефектов. Опыт показал, что дефекты выявляются на самых различных этапах комп­лексной программы испытаний, что можно объяснить как специфи­ческими характеристиками самого дефекта, так и характером про­граммы испытаний. Так, например, можно ожидать, что дефекты, чувствительные к термовакуумным условиям, выявляются именно на этапе термовакуумных испытаний и т. д.

Таким образом, процесс обнаружения дефектов носит случай­ный характер, подобный тому, который рассматривается в теории надежности. Так, время до обнаружения дефекта является аналогом времени до отказа и т. д. Применяя разработанный в теории надеж­ности математический аппарат, можно получить модель динамики эффективности системы в процессе экспериментальной отработки. При этом предполагается, что все дефекты являются одинаковыми с точки зрения возможности их обнаружения. В общем случае это не так, потому что вероятность перехода дефекта в отказ и, следова­тельно, вероятность его обнаружения зависят от условий испытаний.

Предполагается также, что дефекты являются независимыми, т. е. вероятность обнаружения дефекта не зависит от числа и вида других дефектов, имеющихся в системе. В ряде случаев, когда один дефект маскирует присутствие другого, это предположение не выполняется.

Экспоненциальная модель динамики эффективности системы на /-м уровне экспериментальной отработки имеет вид:

Щъ) = щ — (й, — Щ)ехр{-0,т,}, (3.3)

где щ — предельное для данного /-го уровня испытаний значение

эффективности; — значение эффективности к началу /-го уровня испытаний.

Из уравнения (3.3) видно, что изменение эффективности при испытаниях на /-м уровне подчиняется закону с постоянным тем­пом. При этом скорость роста эффективности пропорциональна об­наруженной в процессе испытания ненадежности в данный момент

времени: W* = 0/(д/ — Wi).

Таким образом, основную информацию, необходимую для до­работки системы, несут неудачные испытания. Так как в системе имеется ограниченное число дефектов, то скорость роста эффектив­ности с течением времени (вследствие уменьшения числа оставшихся в изделии дефектов) монотонно убывает (рис. 3.2, а).

Рис. 3.2. Зависимость скорости роста эффективности
от времени испытаний при единичных (а)
и комбинированных (б) испытаниях

Реальная программа испытаний состоит из некоторой комбина­ции частных видов испытаний, причем последние располагаются обыч­но в порядке возрастающей интенсивности условий испытания. В данном случае следует ожидать, что осредненная скорость роста эф­фективности системы будет сначала увеличиваться из-за более жест­ких условий, способствующих выявлению дефектов, а затем убывать за счет уменьшения числа оставшихся в системе дефектов (рис. 3.2, 6). Этим условиям отвечает логистическая модель динамики эффек­тивности системы:

Для этой модели скорость роста эффективности определяется соотно-

QW *

шением Wi = ——- (щ — W/) и имеет максимум в точке Щ = щ / 2.

Логистическая модель хорошо описывает процесс обнаружения дефектов при прочностных испытаниях сложных конструкций в резер­вированных системах. Однако для описания динамики эффективнос­ти в таких случаях успешно используются более простые экспоненци­альные модели с переменными интенсивностями 0/, 0/2, …, Qtm.

Обе модели динамики эффективности — экспоненциальная и логистическая — известны также в общей теории систем, где они применяются для описания процессов развития сложных систем. Остановимся на особенностях моделей динамики эффективности, характерных для отдельных уровней иерархии испытаний (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Схема типовой иерархии испытаний

»

Предельные значения эффективности ai системы, которые могут быть получены в результате проведения испытаний, определяются степенью адекватности условий испытаний реальным эксплуатаци­онным режимам. На низших уровнях иерархии испытаний величина а і меньше, чем на более высоких. Это объясняется тем, что при переходе на высшие уровни испытаний появляются специфические дефекты, присущие только данным уровням. Эти дефекты обуслов­лены взаимодействиями в сложной системе и не могут быть выявле­ны на низших уровнях. Поэтому испытания на низших уровнях дают сравнительно низкую гарантию безотказной работы системы.

Интенсивность обнаружения дефектов также различна для раз­личных уровней иерархии. При испытаниях на уровне системы она более низкая, чем при испытаниях составляющих, так как на выс­ших уровнях испытаний сложнее обнаружить дефекты.

Отмеченные выше специфические особенности, характерные для различных уровней иерархии испытаний, могут быть записаны в виде следующих неравенств: щ_ < д/, 0/_j > 0/.

Все основные положения, полученные теоретически на основа­нии изложенного выше метода, достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными. Так, например, на рис. 3.4 приведе­ны кривые зависимости вероятностей отказов от времени разработки системы и проведения летных испытаний, полученные при разработ­ке новых самолетов. На рис. 3.5, а представлена кривая зависимости надежности ракетных двигателей от числа испытаний. Как видно из

а) б) Рис. 3.4. Кривые зависимости вероятности отказов от времени разработки (а) и летных испытаний (б)

рис. 3.4 и 3.5, характер зависимостей близок к экспоненциальному закону.

Приведенная на рис. 3.5, б кривая зависимости надежности ра­кетных двигателей от коэффициента сложности испытуемого изделия подтверждает увеличение надежности при повышении уровня иерар­хии испытаний. Так, например, при проведении стендовых испыта­ний, коэффициент сложности которых был принят 0,5, надежность двигателя получена значительно меньше, чем при летных испытани­ях. Такие же результаты были получены и при испытаниях космичес­кого аппарата «Apollo».

Рис. 3.5. Кривые зависимости надежности ракетных двигателей от числа испытаний (а) и коэффициента сложности (б)

Приведенные на рис. 3.6 данные свидетельствуют о значительно большей интенсивности обнаружения дефекта в наземных испытани­ях по сравнению с летными испытаниями. Однако предельно дости­жимая надежность при наземных испытаниях оказывается ниже, чем надежность, достигнутая при летных испытаниях.

Формулы (3.3) и (3.4) позволяют связать текущую эффективность, достигнутую при экспериментальной отработке изделия, со време­нем отработки. Так, для экспоненциальной модели динамики эф­фективности время испытаний на /- м уровне иерархии испытаний определяется выражением

,=±in^Ек

9/ Щ-Wr

Суммируя время по всем уровням иерархии при / = 1, 2, Nn учитывая, что время к началу первого уровня испытании равно нулю, получим выражение для общего времени испытаний, необходимого для достижения объектом заданной эффективности:

где W3j — требуемая для і-го уровня испытаний эффективность, яв­ляющаяся одновременно начальной эффективностью для (і +1 )-го уровня.

Число необходимых уровней испытаний 7V определяется из усло­вия ап >W3, т. е. из условия того, чтобы предельная эффективность последнего л-го уровня испытаний была больше, чем требуемая для системы эффективность W3.

Из соотношения (3.5) видно, что время, необходимое для про­ведения испытаний, определяется параметрами математической мо­дели процесса испытаний, которые могут быть определены путем ста­тистической обработки результатов испытаний систем-аналогов.

Таким образом, параметры моделей динамики эффективности точно неизвестны, они определяются их средними значениями и дис­персиями. Поэтому в качестве критерия эффективности в постанов­ке задачи оптимизации (3.2) целесообразно принять среднее время испытаний. Для определения среднего времени разложим нелиней­ную функцию (3.5) в многомерный ряд Тейлора относительно векто­

вектор-строки Л/, являются параметры модели динамики эффектив­ности (3.3), (3.4): я/, 0/, IVj, JV3i. Разложение проведем до членов

второго порядка включительно. В результате для функции, опреде­ленной формулой (3.5), получим:

+ 2?Ll ^ "’5“*2+2??3ЦэАц -^)

При условии, что параметры Д* некоррелированы, запишем вы­ражение (3.6) для среднего времени испытаний в виде

т = У-in а/ ~ _0/ +1у У ^q2 (4к )

/в/ щ-w* ІікМк

Для определения точности оценки среднего времени испытаний вычислим его дисперсию:

Г — ч Л Э т/ дА* J

Vі (4л).

В большинстве практических случаев вторым членом в (3.8) мож­но пренебречь и для определения дисперсии среднего времени испы­таний использовать формулу

ЭД*

Аналогично могут быть рассчитаны третий и четвертый моменты:

Поскольку средние значения параметров моделей динамики эф­фективности и их дисперсии точно неизвестны, а оцениваются путем обработки экспериментальных данных, использование выражений (3.7)—(3.11) возможно при условии несмещенности этих оценок.

Как видно из формулы (3.7), среднее время испытаний опреде­ляется двумя составляющими. Первая составляющая определяет сред­нее время, необходимое для достижения заданной эффективности; вторая — затраты времени, обусловленные неточностью оценки те­кущего значения эффективности. Таким образом, сокращение сред­него времени испытаний может быть обеспечено за счет увеличения

точности оценки параметров Д, определяющих текущее значение

эффективности проектируемого изделия.

Для формирования критерия эффективности при постановке за­дачи оптимизации (3.1) необходимо получить зависимости, связыва­ющие затраты с техническим показателем эффективности, а именно с текущей эффективностью разрабатываемого изделия.

Стоимость разработки изделий авиационной и ракетно-космичес­кой техники зависит от множества факторов как технического, так и организационного характера. Такими факторами являются основные технические характеристики проектируемого изделия (масса, слож­ность аппаратуры), новизна разработки, уровень производства, опыт участвующих в проекте организаций и т. д. Учесть все эти факторы
строго не удается, поэтому в качестве математических моделей сто­имости обычно используется ряд эмпирических зависимостей, осно­ванных на анализе статистического материала. Наиболее часто для описания зависимости эффективности от затрат используется экспо­ненциальная модель вида

Щ (АС, ) = Ь; — (Ь, — Щ)/)ехр{—АГ/Д С,}. (3.12)

Остановимся на особенностях моделей динамики эффективности (3.12), характерных для отдельных этапов испытаний.

Предельные по стоимости значения bt определяются возможнос­тями современной техники имитировать на данном i’-м этапе реаль­ные эксплуатационные условия. Чем ниже уровень, на котором про­водится испытание, тем меньше соответствующие значения Ь,, так как более высокие уровни сборки характеризуются более полной ими­тацией эксплуатационных условий. Показатель роста эффективности Kj уменьшается при переходе на более высокие уровни, что объясня­ется большими затратами, необходимыми на устранение дефектов на этих уровнях.

Таким образом, указанные особенности мы можем записать в виде неравенств: fy > bj_, Kj < К,_.

Общая стоимость разработки определяется суммой базовых и те­кущих затрат: С = Cq + АС.

Базовые затраты С0 также оказывают влияние на эффективность разрабатываемого изделия, однако математическая модель этого вли­яния более сложная. Остановимся подробнее на зависимости эффек­тивности от базовых затрат. Так, для экспоненциальной модели

W і^і ) = аі ~ іаі ~ Щ» )ехр {—0|Т/}

параметры а,-, 0/ определяются техническими возможностями испы­тательного оборудования, применяемого на конкретном предприятии. В общем случае значения параметров а-, и 0, не больше значений аналогичных параметров £, и К, модели стоимости эффективности. Равенство достигается в том случае, если предприятие применяет наи­более совершенное для данного уровня развития техники испытатель­ное оборудование.

Приведенные эмпирические зависимости эффективности от сто­имости могут быть проиллюстрированы экспериментальным матери­алом.

Как известно, коэффициент сложности пропорционален затра­там. Таким образом, приведенная выше зависимость надежности от коэффициента сложности (см. рис. 3.5, 6) может быть использована
также для анализа функции стоимости надежности и подтверждает ее экспоненциальный характер и повышение предельных стоимостей по мере увеличения уровня иерархии.

Также установлено, что расходы, необходимые для устранения дефекта, при увеличении уровня иерархии возрастают приблизитель­но по экспоненте, что подтверждает уменьшение показателя роста Kt при переходе на более высокий уровень испытаний (рис. 3.7). Пара­метры модели динамики эффективности в зависимости от стоимости так же, как в случае зависимости от времени, точно неизвестны и могут быть определены, если зафиксировать значения текущей эф­фективности и суммы затрат к рассматриваемому моменту и провести статистическую обработку полученных результатов.

с, у. е.

2

Испытания

систем

N

Рис. 3.7. Зависимость затрат на отказ от уровня иерархии испытаний

В качестве критерия эффективности в постановке задачи опти­мизации (3.1) использовано среднее значение общей стоимости ис­пытаний. Для определения среднего значения запишем стоимость /-го уровня испытаний:

Общую стоимость комплексной программы испытаний получим суммированием стоимостей испытаний на отдельных уровнях иерар­хии при /’ = 1, N :

Среднее значение стоимости общей программы испытаний полу­чим, применяя описанный выше метод разложения нелинейной фун­кции (3.13) в многомерный ряд Тейлора относительно вектора сред­них значений параметров: 5, = Bik. При этом элементами Bik

вектор-строки В/ являются параметры модели эффективности (3.12):

Ki, w0h w3i.

Выражения для средней стоимости и ее дисперсии имеют вид:

Выражения (3.14), (3.15) показывают, что средняя стоимость так же, как и среднее время, имеют две составляющие, одна из которых определяет стоимость испытаний при средних значениях параметров модели стоимости, а другая — характеризует увеличение стоимости, обусловленное неточностью определения параметров.