Математические модели

Идея физического моделирования не исчерпывает весь арсенал мето­дов и средств отработки СТС и повышения ее эффективности. Все чаще в практику их отработки внедряются математические модели. Естественно, это справедливо для условий, когда известен оператор исследуемого процесса. С учетом этого в общем виде математическую модель можно представить как

Y = АХ,

где Y, X — два вектора, первый из которых характеризует выход, а второй — вход системы; А — оператор. Тогда из сферы исследования непосредственно исключается не только физическая модель, но и сам объект. Они становятся лишь источником информации, исполь­зуемой для определения и уточнения вида модели.

Математическая модель описывает структуру функциональных связей между варьируемым составом значимых факторов и выходным качеством процесса. При этом вход и выход модели должны нахо­диться в математическом равновесии, состояние которого может быть как статическим, так и динамическим.

Успех моделирования определяется удачным выбором характери­стики, определяющей выходное качество процесса, состава значи­мых факторов и формы функционально-логических связей между ними. Проводя анализ различных видов модели, определяют степень влияния вносимых в модель изменений на качество ее функциониро­вания.

Весьма важно при моделировании выявить состав значимых фак­торов и установить условия, влияющие на характеристику, подлежа­щую оптимизации. Состав значимых факторов обусловлен свойства­ми самой системы и его необходимо выявлять самым тщательным образом, так как поспешность в этих вопросах всегда приводит к ошибкам. Однако чем больше факторов включается в модель, тем сложнее ее решение. Поэтому важно также своевременно исключить из программы испытаний факторы, влияние которых на исследуе­мый процесс пренебрежимо мало или их эффект соизмерим с ошиб­кой аппроксимации.

Основные вехи на пути создания математических моделей заключа­ются в том, что путем анализа априорных данных изучаются основные свойства и характер поведения системы, возможность применения аналитических методов или законов, устанавливающих совокупность структурных связей между всеми переменными исследуемого процес­са. Затем на основе накопившейся информации строится предвари­тельная модель, результаты исследования которой должны находить­ся в непосредственном соответствии с поведением натурного объекта. Всякое заметное несоответствие их свойств устраняется путем моди­фикации модели, ее совершенствования. Практически этот процесс должен идти непрерывно. Если для физических моделей важно со­хранить физическое подобие натуре, касаясь не только выходных ха­рактеристик, но и основных внутренних свойств системы, то для математических моделей, как правило, важно сохранить только по­добие реакции «выхода» на «вход».

При разработке математических моделей необходимо:

• выявить состав управляемых и неуправляемых переменных;

• определить границы изучаемого процесса;

• определить глубину детализации процесса;

• установить физические ограничения на разработку;

• установить характер управления процессом (в статическом или динамическом режиме работы);

• определить требуемую точность моделирования;

• наметить пути дальнейшего совершенствования моделей.

Моделирование развивается по пути создания детерминирован­ных и вероятностных моделей, для которых структурные связи могут быть стохастическими и детерминированными. Детерминированные и вероятностные процессы в свою очередь могут быть описаны соот­ветственно детерминированными и вероятностными моделями и на­оборот.

К недостаткам моделей можно отнести следующее: во-первых, они всегда являются приближенными и, во-вторых, при разработке моделей требуется весьма точная и достоверная информация. При­чина этих недостатков может заключаться в следующем:

• неудачно выбрана выходная характеристика, определяющая ка­чество исследуемого процесса;

• выбор состава значимых факторов строится на приближенных методах, не учитывающих физические особенности процесса;

• оценка адекватности разрабатываемой модели может быть недо­стоверной;

• некоторые из значимых факторов могут оказаться качественны­ми, не имеющими количественного выражения;

• не всегда удается подобрать приемлемую математическую фор­му связи, отражающую без существенных упрощений реаль­ный процесс;

• в ряде случаев по тем или иным причинам разработчик модели и сам не стремится к обеспечению высокой точности, руко­водствуясь решением, скажем, только первоочередных задач и Т. Д.

Например, если рассмотреть некоторые уравнения из теории жидкостно-ракетных двигателей (ЖРД), устанавливающие критерии физического состояния жидкости или газа, а также зависимости для основных параметров, то можно придти к выводу, что это и есть математические модели. Однако их точность зависит от степени иде­ализации исследуемого процесса и точности измерения самих пара­метров, включенных в модель. Дело в том, что в ряде случаев пара­метры аналитических моделей не всегда удается измерить, а на реальных объектах ими сложно или невозможно управлять. Это и составляет основную трудность использования аналитической моде­ли в факторном эксперименте. При этом необходимо отметить, что рассматриваемые модели, как правило, не учитывают конструктив­ные особенности исполнения изделия, условия его эксплуатации. В числе этих особенностей можно указать на всевозможные потери по газодинамическим трактам, а также неточность определения коэф­фициента полезного действия (КПД) насосов и турбин расчетным путем. То же самое можно сказать о влиянии внешней среды, орга­нов управления и т. п.

Поэтому на практике аналитические модели обычно используют для соответствующих расчетов и моделирования в процессе проекти­рования при выборе нескольких исходных вариантов двигателя. Но когда решается вопрос совершенствования штатной конструкции в ходе экспериментальной отработки, аналитические модели могут оказаться непригодными. Для того чтобы аналитическая модель слу­жила указанным целям, она должна учитывать конструктивные ре­шения и влияние внешних и внутренних факторов. А это пока удает­ся осуществить лишь на основе обработки экспериментальных данных.

Если речь идет о разработке математической модели, удовлетво­ряющей основным требованиям практики, то важно отметить следу­ющее. В качестве выходной характеристики исследуемого процесса необходимо использовать параметры, определяющие качество СТС или ее надежность. В целом степень конструктивного совершенства СТС оценивается достигнутым уровнем надежности, величинами ос­новных параметров, технологичностью исполнения, минимальными массами конструкции и высокими эксплуатационными свойствами. Поэтому, когда требуется оценить данные показатели, то в качестве выходной характеристики следует использовать не одну, а несколько видов моделей, каждая из которых служит определенным целям. В ряде случаев с достаточной степенью точности модель может выра­жаться уравнением регрессии:

п п

У = X Ьіхі + X bijxixj + 6 ’

/=1 i< j

где by — коэффициенты регрессии; х,…,хп — варьируемые фак­торы; е — средняя ошибка аппроксимации.

В данном случае варьируемыми факторами, например для ЖРД, могут быть давления на входах в двигатель по трактам горючего и окис­лителя, температуры компонентов топлива, давление в камере сго­рания, коэффициент соотношения компонентов топлива, секунд­ный расход компонента, впрыскиваемого в закритическую часть сопла, и другие факторы. Представленная модель будет справедлива для некоторой определенной конструктивной схемы двигателя. При этом особенности конкретного ЖРД будут определяться соответству­ющими коэффициентами регрессии. При изменении конструкции некоторых агрегатов должны изменяться соответствующим образом и коэффициенты модели. В некоторых случаях могут появиться новые переменные, их взаимодействия, а также может измениться сама фор­ма связи и т. д.

Достоинство таких моделей заключается в учете особенностей конкретной конструкции и самого исследуемого процесса, в учете факторов, определяющих условия испытаний. Все факторы управля­емы и регистрируются средствами измерений. Иногда в процессе отработки двигателя для каждой конструктивной схемы разрабатыва­ются свои модели, сопоставление и анализ которых позволяют опти­мизировать исследуемый процесс. Если же необходимость в натур­ных экспериментах существует, то математические модели позволяют разрабатывать оптимальные планы и программы испытаний, осуще­ствлять текущий прогноз основных характеристик и т. д.

В математических моделях совокупность свойств и критериев од­ного плана используется для отражения совокупности свойств и кри­териев совершенно иного плана. При этом совокупность физических свойств может представляться символически в виде набора цифровых знаков, буквенных обозначений и т. п. Модели такого рода принято называть символическими.

Символические модели представляются, как правило, совокуп­ностью условно записанных систем уравнений и неравенств, описы­вающих математическую структуру исследуемого процесса. В отличие от символических моделей, аналоговые модели позволяют исследо­вать реальный процесс с помощью моделей другого аналогового про­цесса, подобного натурному. Например, гидравлический поток мо­жет характеризовать поток электронов. Соответственно модель, описывающая траекторию полета одной ракетной системы, прини­мается за аналоговую при моделировании другой и т. п. Однако пере­несение аналоговой модели на исследуемый процесс может потребо­вать изменения соответствующих коэффициентов. В целом аналоговые и символические модели составляют основу математического моде­лирования.

При условии разработки достаточно точных моделей исследуе­мых процессов реализация любого вычислительного эксперимента не составляет особого труда в сравнении с теми затратами средств и време­ни, которых требует натурное испытание. Сложность моделирования состоит в разработке соответствующих моделей и отладке вычисли­тельных программ, достаточно точно отражающих реальный процесс. Математические модели делятся на конструктивные и описательные, т. е. на модели первого и второго родов. Модели первого рода явля­ются средством постановки активного эксперимента. На практике при моделировании физических процессов чаще всего используются символические конструктивные модели, обладающие достаточной эффективностью и простотой в операционном отношении.

Большое практическое значение в процессе проектирования и на начальных этапах разработки сложных технических систем приобрели аналитические символические конструктивные модели в комплексе с так называемыми эмпирическими моделями. Под эмпирическими мо­делями в данном случае понимают всякого рода зависимости, полу­ченные на основании анализа и обработки экспериментальных дан­ных.