Модификация математических моделей

Управляемые факторы математических моделей могут выражаться как количественными, так и качественными переменными. При этом сложность решения может состоять в том, что качественные пере­менные не всегда могут иметь однозначность выражения. Например, уровень научной квалификации некоторого коллектива трудно пред­ставить каким-либо определенным показателем. В ряде случаев ко­личественные переменные, входящие в структуру модели, не всегда могут быть измерены. Так, например, в процессе выхода двигателя на режим очень трудно представить в динамике изменение полноты сгорания топлива в камере. Однако эта характеристика может быть выражена через другие, зависящие от нее переменные. Чтобы избе­жать дополнительных ошибок при моделировании, модели такого рода обычно модифицируют, включая в состав значимых факторов пере­менные, имеющие количественное выражение и достоверную инфор­мацию.

Проблема моделирования, как правило, решается на стыке двух задач. Первая задача — разработка вида модели и отладка вычисли­тельной программы. Вторая задача — обеспечение исходной инфор­мацией. Причем эта задача во многр раз сложнее первой как в орга­низационном, так и техническом отношении. Последнее объясняется необходимостью реализации сложных экспериментальных программ, решения ряда конструктивных мероприятий, постановки специаль­ных средств измерения, модернизации существующего оборудования и т. п. Все эти вопросы имеют первостепенную важность, так как решение задачи, связанной с разработкой адекватной модели, под­чинено обеспечению ее исходными данными. Сама модель, по воз­можности, должна быть простой, в то же время не должна снижаться ее точность. Упрощение модели достигается несколькими способами.

Первый способ — исключение из состава значимых факторов пе­ременных, имеющих, по мнению разработчика, второстепенное или неопределяющее отношение к решаемой задаче. При этом несколько снижается точность, но в целом такой подход можно считать рацио­нальным, особенно тогда, когда информация по составу значимых факторов является неполной или отсутствует вообще. Как правило, исключение той или иной переменной должно подвергаться строгому анализу с точки зрения прогнозирования возможных последствий. Степень влияния исключаемой переменной на исследуемый процесс в ряде случаев устанавливается путем постановки специальных экспе­риментов.

Второй способ упрощения моделей — использование различных форм связи с оценкой точности по каждому из видов модели, при­чем движение осуществляется в направлении от самого простого к сложному. В конечном итоге выбирается модель, которая, будучи достаточно простой, удовлетворяла бы исследователя с точки зрения ее точности. Задача решается с помощью алгоритма перебора.

Третьим способом упрощения моделей можно считать замену уп­равляемой переменной некоторым постоянным уровнем, например ее математическим ожиданием. Это может быть достигнуто в тех слу­чаях, когда в процессе испытаний варьируемый фактор имеет малый диапазон изменения. Например, речь идет об изменении давления в баке ракеты в предпусковой период, когда сам наддув контролирует­ся системой датчиков высокой точности.

Цели упрощения моделей служит замена дискретных форм связи линейными зависимостями. Так, например, часто в процессе про­граммирования допускается линейная аппроксимация нелинейных функций. В некоторых случаях нелинейная функция аппроксимиру­ется последовательным рядом прямолинейных участков. Однако, упрощая тот или иной вид модели, нужно стремиться к оценке по­следствий применения этого шага. Существенное упрощение вида модели может быть достигнуто путем снятия некоторых ограничений на условия решения задачи, а также требования, предъявляемого к составу значимых факторов. Допустим, решается задача по оптими­зации некоторого процесса при известном составе факторов, в кото­рый входят такие переменные, как давление в камере сгорания ЖРД и коэффициент соотношения компонентов топлива. И, следователь­но, «вход» процесса содержит переменные, строго говоря, завися­щие друг от друга. При наличии этих предпосылок модель должна строиться на основе корреляционного анализа с помощью, напри­мер, импульсных переходных функций. Такая форма связи достаточ­но сложна, скажем, в сравнении с уравнением регрессии. Однако, зная физический смысл этой зависимости между факторами, можно установить, что существует некоторый оптимум.

Следовательно, если ввести ограничение на диапазон варьирова­ния факторов, то можно обоснованно применить допущение о неза­висимости этих двух переменных. При этом условии решение задачи значительно упрощается.

Опыт решения подобного вида задач показал, что в некоторых случаях, если и существует в физическом смысле некоторая форма корреляции между варьируемыми факторами, то ею можно пренеб­речь, если поиск ведется в зоне, близкой к экстремальным услови­ям.