Модификация математических моделей
Управляемые факторы математических моделей могут выражаться как количественными, так и качественными переменными. При этом сложность решения может состоять в том, что качественные переменные не всегда могут иметь однозначность выражения. Например, уровень научной квалификации некоторого коллектива трудно представить каким-либо определенным показателем. В ряде случаев количественные переменные, входящие в структуру модели, не всегда могут быть измерены. Так, например, в процессе выхода двигателя на режим очень трудно представить в динамике изменение полноты сгорания топлива в камере. Однако эта характеристика может быть выражена через другие, зависящие от нее переменные. Чтобы избежать дополнительных ошибок при моделировании, модели такого рода обычно модифицируют, включая в состав значимых факторов переменные, имеющие количественное выражение и достоверную информацию.
Проблема моделирования, как правило, решается на стыке двух задач. Первая задача — разработка вида модели и отладка вычислительной программы. Вторая задача — обеспечение исходной информацией. Причем эта задача во многр раз сложнее первой как в организационном, так и техническом отношении. Последнее объясняется необходимостью реализации сложных экспериментальных программ, решения ряда конструктивных мероприятий, постановки специальных средств измерения, модернизации существующего оборудования и т. п. Все эти вопросы имеют первостепенную важность, так как решение задачи, связанной с разработкой адекватной модели, подчинено обеспечению ее исходными данными. Сама модель, по возможности, должна быть простой, в то же время не должна снижаться ее точность. Упрощение модели достигается несколькими способами.
Первый способ — исключение из состава значимых факторов переменных, имеющих, по мнению разработчика, второстепенное или неопределяющее отношение к решаемой задаче. При этом несколько снижается точность, но в целом такой подход можно считать рациональным, особенно тогда, когда информация по составу значимых факторов является неполной или отсутствует вообще. Как правило, исключение той или иной переменной должно подвергаться строгому анализу с точки зрения прогнозирования возможных последствий. Степень влияния исключаемой переменной на исследуемый процесс в ряде случаев устанавливается путем постановки специальных экспериментов.
Второй способ упрощения моделей — использование различных форм связи с оценкой точности по каждому из видов модели, причем движение осуществляется в направлении от самого простого к сложному. В конечном итоге выбирается модель, которая, будучи достаточно простой, удовлетворяла бы исследователя с точки зрения ее точности. Задача решается с помощью алгоритма перебора.
Третьим способом упрощения моделей можно считать замену управляемой переменной некоторым постоянным уровнем, например ее математическим ожиданием. Это может быть достигнуто в тех случаях, когда в процессе испытаний варьируемый фактор имеет малый диапазон изменения. Например, речь идет об изменении давления в баке ракеты в предпусковой период, когда сам наддув контролируется системой датчиков высокой точности.
Цели упрощения моделей служит замена дискретных форм связи линейными зависимостями. Так, например, часто в процессе программирования допускается линейная аппроксимация нелинейных функций. В некоторых случаях нелинейная функция аппроксимируется последовательным рядом прямолинейных участков. Однако, упрощая тот или иной вид модели, нужно стремиться к оценке последствий применения этого шага. Существенное упрощение вида модели может быть достигнуто путем снятия некоторых ограничений на условия решения задачи, а также требования, предъявляемого к составу значимых факторов. Допустим, решается задача по оптимизации некоторого процесса при известном составе факторов, в который входят такие переменные, как давление в камере сгорания ЖРД и коэффициент соотношения компонентов топлива. И, следовательно, «вход» процесса содержит переменные, строго говоря, зависящие друг от друга. При наличии этих предпосылок модель должна строиться на основе корреляционного анализа с помощью, например, импульсных переходных функций. Такая форма связи достаточно сложна, скажем, в сравнении с уравнением регрессии. Однако, зная физический смысл этой зависимости между факторами, можно установить, что существует некоторый оптимум.
Следовательно, если ввести ограничение на диапазон варьирования факторов, то можно обоснованно применить допущение о независимости этих двух переменных. При этом условии решение задачи значительно упрощается.
Опыт решения подобного вида задач показал, что в некоторых случаях, если и существует в физическом смысле некоторая форма корреляции между варьируемыми факторами, то ею можно пренебречь, если поиск ведется в зоне, близкой к экстремальным условиям.