НА КАЧЕСТВО ВОССТАНОВЛЕНИЯ

Ранее предполагалось, что состояние параметра определяется с .вероятностью единица (инструментальная достоверность контро­ля равна единице). Однако на практике любая система контроля имеет погрешности и достоверность контроля меньше единицы. Рассмотрим, как изменится в этом случае формулировка задачи и характер принимаемых решений.

Будем предполагать, что при контроле состояния і с вероятно­стью р<1 фиксируется состояние і и с вероятностью 1 —р — одно из состояний 1, 2 …, і— 1, г+1,. . .. F. Оценим средние удельные затраты Mi [с], соответствующие введенному процессу (3.1) — (3.2). На основании теоремы о полном математическом ожидании

— р)М2[с], (3.18)

где Щс — математическое ожидание затрат за один шаг, соответствующее случаю, когда измеренное и истинное состояние АС совпадают; Мг{с] — ма­тематическое ожидание затрат при наличии погрешностей системы конт­роля.

Если значение достоверности при измерениях меньше заданно­го, то естественным является желание увеличить это значение путем повторения проверок (при отсутствии ограничений на продолжи­тельность или затраты контроля), что ведет к возрастанию общих затрат на контроль. Далее в результате неправильного определения состояния АС возможно, например, проведение предупредительных работ, когда, в этом нет необходимости, что, естественно, вызывает дополниіЄлсЬьїє затраты. При пропуске отказа, как правило, также требуются затраты, связанные с ликвидацией последствий такого отказа и т. и.

Поэтому. в общем случае можно считать, что при р<1 затраты всегда возрастают: с=Со+Ас, где с0 — затраты при р= 1; Ас — до­полнительные затраты за счет р< 1.

Используя выражение (3.6) для Мс и обозначая дополнитель­ные затраты символом А, получим

М2 [с] — 222 KiDisqsj {tsj -|- Дtsj — j — zsj — f — Azsj) 4-

І / 5

+22 ^iDls(Cis—Acis),

І S

откуда после преобразования получим

М‘2 [с] = М [с — 2 2 niD, /]sj №sj “Ь ^zsj) 4~ 22 ntDisAcis.

і j s is

(3. 19)

После подстановки (3.6) и (3.19) в (3.18) и приведения подоб­ных членов

Мх [с] = 222 isQsjtysj Ь^5/)~Ь,2 ^i^iSpis~~(^

І j s is

x(222 ni ^isQsj (Msi — Ь ^zsj) ~Ь 2 2 ■ (3.20)

1 і j s is ‘

Теперь задача по определению правила проведения предупреди­тельных работ сводится к следующей задаче линейного программи­рования: минимизировать выражение (3.20) при ограничениях (3.5) с учетом обозначений (3.7). Для того чтобы определить, к чему приведет учет достоверности контроля, проанализируем более де­тально выражение для дополнительных затрат. Естественно пред­

положить, что дополнительные затраты зависят от достоверности контроля. Пусть эта зависимость имеет вид:

A c=f{p)c0, (3.21)

где f(p)—неотрицательная, кусочно-непрерывная функция, удовлетворяющая на интервале 0<р^ 1 условиям Дирихле и f(p)=f( 1)=0. Если в общем слу­чае btsJ= fW (p)tsj> A2<7 — fi (jP)zsj, Дс/5= ffs(P)°lS’ т0 после их подстановки в (3.20) Af і [с] принимает вид:

+

(3.22)

X

l j S Si

x[l+(l-rf/g’(p)]. (3.23)

Так как выражения, стоящие в квадратных скобках, при р< 1 положительны (или по крайней мере неотрицательны), то отсюда следует, что учет достоверности контроля приводит к возрастанию математического ожидания затрат. Второй вывод, который может быть сделан из анализа выражения (3.23), состоит в том, что при р<1 возможно изменение значения упреждающего допуска і*. По­кажем, что это так. Так как в общем виде такой анализ достаточно сложен, то проведем его па одном из частных случаев для функций fsj(p) и затрат.

Пусть

/if (р) = /о (р);

і’Де Q = TB/Tp.

Здесь (возможны различные случаи.

1. Пусть f0(p)>0, a fi(p)=f2(p)=0, 0<р<1, т. е. погрешности при контроле не вызывают изменения затрат на восстановительные работы. Тогда (3.25) принимает вид:

Ml И 771 =[ 1 + (1 — р) /о (Р) to77’+е 2* 2 %iDi* + 2* ЯрВр*’

Ї=1 5=1 5=1

(3. 26)

Из формулы (3.26) следует, что если ошибки при контроле при­водят к возрастанию затрат только на проверку, то при этом уве­личивается абсолютное значение средних удельных затрат, а значе­ние упреждающего допуска сохраняется прежним. Последнее объяс­няется следующим образом.

Значение упреждающего допуска определяется набором значе­нии xis, соответствующих оптимальному плану задачи линейного программирования. В свою очередь, оптимальный план определя­ется коэффициентами при неизвестных в целевой функции и систе­ме ограничений. При изменении коэффициентов в целевой функ­ции изменяется уравнение плоскости, вследствие чего и возможно изменение оптимального плана.

В данном случае этого не происходит, поэтому значения xis, со­ответствующие оптимальному плану в этой задаче, будут такими же, как и в задаче с целевой функцией (3.15), а следовательно, значение упреждающего допуска сохранится.

2. Предположим теперь, что /о(р)=0, а /і(р)>0, /2(р)>0,

0<pd.

В этом случае

Ml М _ to! V Я D 4

[1 +(1-р)/2(р)]ГР [ + (-p)f2(p)]TvT F

5= 1

+ч/;)е2 2 (3-27)

І-1 5- 1

При целевой функции вида (3.15) значение упреждающего до­пуска зависит только от значения q и параметров случайного про­цесса, задаваемого матрицей вероятностей переходов. (3.1). Кро­ме того, на примере было проиллюстрировано, что при изменении О от 1 до 0 значение I* уменьшается от F до 2. Анализ выражения (3.27) показывает, что при учете достоверности контроля общая структура целевой функции сохраняется, но вместо, сомножителя q

появляется произведение 6(/;)q. Поведение множителя б(/;) опре­деляет поведение всего произведения, а следовательно, и возмож­ность изменения упреждающего допуска. В свою очередь, поведе­ние б (р) зависит от того, как функции fi{p) и Ыр) изменяются относительно друг друга. Пусть при любом р Ыр)<Ыр)- Тогда 6(р)<1, откуда 6(p)q<q. Тенденция к уменьшению значения уп­реждающего допуска очевидна. При 6(р)>1 характер изменения величины і* будет противоположным. Интересно отметить, что до­стоверность результатов контроля не оказывает влияния на упреж­дающий допуск при б (р) = 1, т. е. в случае когда дополнительные затраты при всех р изменяются одинаково $і(р)=Ї2(р)]-

На основании полученных результатов можно сформулировать удобное правило для определения значения І* при любом р, если известны зависимость i* (q) при р= 1 и вид функций Ыр) и Ыр) • Пусть р=р< 1. Тогда после вычисления 6(р) = 1 + (1—р) X ХЫр)/1 + (1 —Р)Ыр) и величины р(р)=б(р)е на основании за­висимости z*(q) находят значение і* прй д = р(р).

Отметим особенность, которая возникает при мгновенной инди­кации отказа. Если известна зависимость Ыр)> то формула (3.25) примет вид:

Х^ 2 n‘^is—2 MfDfs[у (р) Л + (р) б] У, 2 (3.28)

5=1 1—1 5=1 5=1 1 = 1

Следовательно, при мгновенной индикации отказа учет затрат на контроль может привести к изменению упреждающего допуска даже в случае, если б(р) = 1, что отличается от ситуации, когда такой индикации нет. Формула (3.28) позволяет, используя пред­ложенное выше правило, оценивать значение і*, не решая задачи линейного программирования с целевой функцией вида (3.28). Для этого достаточно вычислить выражение у(Р)т1 + °'(Р)б==6ь а затем, используя зависимость при q=qi определить соответствую­

щее значение I*.

Пример 2. Рассмотрим параметр (3.16), при классификации состояния ко­торого можно использовать одну из двух систем контроля. Пусть р=0,2, тогда при идеальной системе контроля t* = 6. Предположим, что для первой системы контроля достоверность pi =0,9, а для второй системы р2=0,6. Пред­положим, что зависимости f(p) имеют вид: Д(р) =^i(1—р) fz(p)=kг(1—р), причем fci=5, *2=20. Тогда при pt = 0,9 в соответствии с правилом оценки значения і* бСрі)=0,87, рСрі)=Ю, ііі74 и в соответствии с табл. ІЗ. 1 корректиров­ка значения упреждающего допуска не требуется. Напротив, для второй систе­мы контроля при рг= 0,6 для тех же значений к и *2 имеем е (Рв) = 0,09, что требует изменения значения упреждающего допуска от і* = 6 до і* = 4.

Пусть теперь имеется устройство мгновенной индикации отказа и fo= = (р) = ka (1 —р), й0=5, г)=0.1.

Тогда для системы I — 0,2Й2, и АС нужно эксплуатировать

до отказа (т. е. t* = 7). Для системы контроля І у(рг)ті = 0,043 и у(/>2)т] +

I б (Рв) 6 — 0,043+0,09=0,133, что соответствует выбору значения упреждающе — ю допуска «* = 6. Иными словами, введение устройства мгновенной индикации отказа позволило даже при весьма низкой достоверности контроля использовать ■падение упреждающего допуска, соответствующего идеальной системе конт­роля.