Стабилизация самолета относительно центра масс

Структурные схемы системы цифрового управления продольным движением самолета, показанные на рис. 3.1, включают контур угловой стабилизации относительно центра масс. После некоторых упрощений этот контур может быть представлен в виде структур­ной схемы, изображенной на рис. 3.3. В результате исследования этой структурной схемы должен быть определен вид цифрового за­кона управления, т. е. найден вид передаточной функции дискретно­го корректирующего устройства D(z) и определена величина мак­симально допустимого периода дискретности Т. Воспользуемся для решения поставленной задачи методом логарифмических частотных характеристик, изложенным в разд. 2.2.

Дискретная передаточная функция приведенной непрерывной части системы находится по выражению

Рис. 3.3. Структурная схема
контура угловой стабилиза-
ции

о

или с учетом правил построения логарифмических характеристик в функции псевдочастоты X по отдельным частотным диапазонам и (3.6) получим

На рис. 3.4 приведены логарифмические частотные характери­стики, соответствующие функции (3.8) и желаемой передаточной функции W(/Я), которая сформирована с учетом рекомендаций разд. 2.2 для обеспечения грубости системы и необходимого запа­са устойчивости:

в зависимости от того, определяется ли запас устойчивости по по­казателю колебательности М или R.

Дискретная передаточная функция цифровой коррекции нахо­дится из условия

(ЗЛО)

Откуда

Щг)

АЪ(г)

где

2т» 2та

1+ — 1———————————————————————— —

т т

^ , CL=z kfy — .

Таким образом, реализуемый закон управления должен иметь вид

v (пТ) = а0Д& (пТ)—а,,Ь. Ъ{п — 1)Л» (3.12)

т. е. используется управление по отклонению и по первой разности.

Можно определить базовую частоту Хо через коэффициенты исходной передаточной функции (3.8).

Легко видеть, что

V5л

ум (М—_О М + 1 1 -/? ■ ГГТ* ‘

Откуда максимально допустимое значение периода дискретно­сти находится из условия

При применении метода переменных состояния сначала строит­ся расчетная схема системы управления на основе системы диффе­ренциальных уравнений, описывающих динамику объекта управле­ния и регулятора (разд. 2.7). Процедура перехода от системы диф­ференциальных уравнений к уравнениям в переменных состояния не является однозначной. Это объясняется свободой выбора пере­менных состояния, которым соответствуют свои системы урав­нений.

Выбор переменных состояния обычно определяется параметра­ми, которые описывают движение воздушного судна (угол танга­жа, угол крена, скорость полета, высота и т. д.) и возможностью их непосредственного измерения. В противном случае приходится осуществлять оценку вектора состояния с помощью алгоритмов оптимальной динамической фильтрации.

С этой точки зрения для систем управления полетом предпоч­тительна схема, которая соответствует уравнениям состояния, за­данным в нормальной форме.

Х(/) = АХ(0+Ви(г!); (3.16) u(()=_GX(()+EXlip(0, (3.17) где X вектор переменных состояния размерности nXl; u — вектор управления размерности mxl; Хпр — вектор программных сигналов размерности mXl; А, В — матрицы размерностей пуп и пХт со­ответственно; G — матрица управления по обратной связи размер­ности тХп; Е — матрица управления по вектору программных сиг­налов размерности тут. Рассмотрим автопилот угла тангажа с жесткой обратной связью, когда не учитывается динамика сервопривода. Короткопериодическое движение воздушного судна в продоль­ной плоскости описывается уравнениями 0п+с4)а — /$=0; (СцР + с*) a+ (Р2 + ciP)& — — сз§в — а закон управления 8п = М&-&аад )+ka>zpb. (3.19) В уравнениях (3.18), (3.19) ■0′ —угол тангажа; а —угол атаки; 6В — угол отклонения руля высоты; Озад — программное значение угла тангажа; kkWz передаточные числа автопилота по углу тан-

ЛГ] = &, ЛГ2 = () — 10г> *3—’шг Ь§11, II 0В, ХПр 03ад.

Рис. 3.6. Структурная схема аналогового прототипа Если обозначить

	*1		0	1	0		0
х =	х2	; А=	0	0	1	; В=	Ьо
	*3		0	—	-®i		&1 — аА

О=||^Ц0||, Е = &»,

то система (3.20), (3.21) принимает вид (3.16), (3.17).

Как следует из уравнения (3.21), сигнал управления непрерыв­ной системы по обратной связи формируется из всех координат вектора состояния. Однако, только по двум из них, которые можно непосредственно измерить (О и сог), элементы матрицы управления по обратной связи G отличны от нуля.

Добавим к уравнениям (3.18), (3.19) еще одно

рЬ = сй(Ь — а), (3.22)

учитывающее изменение высоты полета h.

Известно, что система уравнений (3.18), (3.19), (3.22) также представима в виде (3.16), (3.17). При этом вектор состояния X и матрицы А, В, G, Е

	h		0 10 0		0
X =	h	; А =	0 Я22 ®23 0	; в=	0
	&		0 0 0 1		0
	ll, z		0 я42 я43 я44		Ь4Х

G={|0 0 kb &10J; Е = kb,

где а22=—С4, £Г23==С‘іСб> ®42=(с2—&цъ=С4С$—С2, 044=—

+ С5), ^4і = С3.

В этом случае уже все координаты вектора состояния X могут быть непосредственно измерены

При представлении объекта управления и регулятора в виде (3.16), (3.17) и дальнейшем переходе к цифровой системе сохраня­ется структура регулятора, а изменяется лишь матрица управления по вектору программных сигналов Е.

Цифровая система управления, эквивалентная непрерывной си­стеме управления (рис. 3.6), может быть найдена (см. разд. 2.3) в виде, представленном на рис. 3.7, где Ху — вектор состояния циф­ровой системы размерности /гX1; иу — вектор управления размер­ности mNX 1; «у — вектор выходного сигнала экстраполятора раз­
мерности mX 1; LmN(t—пТ)—матрица экстраполятора (IV—1)-го порядка размерности mXmN вида

^mN(t — nT) =

где l, n — единичная матрица размерности mXn; Т — период диск­ретности.

Матрица управления по обратной связи G (Т) размерности mNXn и матрица управления по вектору программных сигналов Е(Г) размерности mNXm цифровой системы равны:

G (Г) = || Go (Г) G1(n…GAr_1(7)||T (3.23)

Е(7’) = || Ео(Г) Еі(Г)… Е)у_і(Г)||т, (3.24)

«X л

Gі(Т), Еі(Г) —матрицы коэффициентов размерности тХп и тХт соответственно (і = 0, 1, …. N—1). Здесь и далее штрих означает операцию транспонирования.

При N— 1 цифровая система имеет экстраполятор нулевого по­рядка.

Будем считать, что аналоговый прототип системы задан в виде (3.16), (3.17) и обладает достаточным запасом устойчивости и от­вечает всем требованиям качества.

Решение этих уравнений для момента времени t^t0 запишем в форме Коши

X (/) = Ф (t —10) X (/0) 4" Г (t —t0) ЕХпр (tfj), (3.25)

t

где Ф(г1 —г0) = е<А-вс)(/_’°), Г(г“ —tD)= j1 Ф(/ — т)е(тВ,

to

поскольку ХПр(0 = const.

Дифференциальные уравнения цифровой системы (см. рис. 3.7) для интервала времени nT^.t<(n+)T (л = 0, 1,…) имеют вид:

Xy(/f) = A. Vy(0 + Buy(0; (3.26)

uy(t)=Lmn(t-nT)uy(nT)-, (3.27)

uy (пТ)= -6(Г) Ху (л Г)+ Ё (Г) Х, ф(л7). (3.28)

Решение уравнений (3.26), (3.27) для U—пТ, t=(n+l)T равно

(/1 + 1)7-

Ху 1(я — f-1) 7] = Фо(7) Ху (пТ) ^ Ф (пТ-{-

пТ

+ 7 — x)BLmN(x—nT)uy(nT)dx, (3.29)

п=0,1,…

Так как uy(nT) =const для (п+1)Т, то после введения

новой переменной о=пТ + Т—т из уравнения (3.29) получаем раз­ностное уравнение

Ху {п +1) 7] = Ф0 (Т) Ху (пТ)-j-0 (Т) иу (пТ), п = 0,1,…, (3.30)

позволяющее найти вектор состояния цифровой системы в любой момент времени, кратный периоду дискретности 7.

Матрица 0(7) в уравнении (3.30)

т

0(7)= |‘ф1)(о)ВЬтЛГ(71 — з) (/о. (3.31)

о

Значение параметров закона управления (3.28), при которых вектор состояния цифровой системы (3.30) точно совпадает с век­тором состояния непрерывной эталонной модели (3.25) через М периодов дискретности, если в начальный момент времени U — nT обе системы имеют вектора состояния у(пТ) =Х(пТ), рассмотрено в разд. 2.3.

Пусть дифференциальные уравнения самолета имеют вид (3.18), (3.22), а аналоговый закон управления описывается уравнением (3.19). Коэффициенты уравнений (3.18), (3.19), (3.22) равны:

Сі = 0,696; С2=2,068; сз = 1,048; С4 = 0,778; cs = 0,101; се= 1,335; kf> = = 1,500; ЛШг= 1,500.

Рассматривая угловое движение самолета совместно с траектор — ным, для вектора состояния X и матриц А, В, G и Е аналогового прототипа получаем

0	1	0	0		0
0	-0,778	1,039	0	; в=	0
0	0	0	1		0
0	1,490	-1,989	-0,797		1,048

G = || 0 0 1,500 1,500 ||; Е= 1,500.

В данном случае п = 4, т=1, следовательно, число периодов дискретности М, через которое может осуществляться согласование векторов состояния цифровой системы и непрерывной эталонной модели, и порядок экстраполятора, определяемый числом N, долж­ны отвечать условию

MN>4.

При М = 2 и М=2 точное согласование векторов Ху и X может быть обеспечено через два периода дискретности с помощью экст­раполятора первого порядка.

Глава 4