ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА

В случае анализа динамики самолета, совершающего полет со скоростью, значительно меньшей орбитальной, уравнения движения по сравнению с общшм случаем полета летательного аппарата [13] могут быть упрощены, в частности, можно пре­небречь вращением и сферичностью Земли. Кроме этого сделаем еще ряд упрощающих допущений.

Будем считать, что самолет представляет собой абсолютно жесткое тело. Влияние упругости конструкции будем учитывать

только квазистатически, для текущего значения скоростного напора.

Будем считать, что масса и моменты инерции самолета на рас­сматриваемых интервалах времени неизменны и соответствуют исходному состоянию равновесного полета.

Будем считать, что конфигурация самолета имеет плоскость симметрии и что массы распределены симметрично по отношению к этой плоскости.

При анализе устойчивости и управляемости самолета будем использовать следующие прямоугольные правые системы осей координат.

Нормальная земная система координат OXgYgZg. Эта система осей координат имеет неизменную ориентацию относительно Земли. Начало координат совпадает с центром масс (ЦМ) самолета. Оси 0Xg и 0Zg лежат в горизонтальной плоскости. Их ориентация может быть принята произвольно, в зависимости от целей реша­емой задачи. При решении навигационных задач ось 0Xg часто направляют к Северу параллельно касательной к меридиану, а ось 0Zg направляют на Восток. Для анализа устойчивости и управляемости самолета удобно принять направление ориента­ции оси 0Xg совпадающим по направлению с проекцией вектора скорости на горизонтальную плоскость в начальный момент вре­мени исследования движения. Во всех случаях ось 0Yg направлена вверх по местной вертикали, а ось 0Zg лежит в горизонтальной плоскости и образует вместе с осями OXg и 0Yg правую систему осей координат (рис. 1.1). Плоскость XgOYg называют местной вертикальной плоскостью.

Связанная система координат OXYZ. Начало координат рас­положено в центре масс самолета. Ось ОХ лежит в плоскости симметрии и направлена вдоль линии хорд крыла (либо парал­лельно какому-либо другому, фиксированному относительно само­лета направлению) к носовой части самолета. Ось 0Y лежит в плоскости симметрии самолета и направлена вверх (при гори­зонтальном полете), ось 0Z дополняет систему до правой.

Углом атаки а называется угол между продольной осью самолета и проекцией воздушной скорости на плоскость OXY. Угол положителен, если проекция воздушной скорости самолета на ось 0Y отрицательна.

Углом скольжения р называется угол между воздушной ско­ростью самолета и плоскостью OXY связанной системы коорди­нат. Угол положителен, если проекция воздушной скорости на поперечную ось положительна.

Положение связанной системы осей координат OXYZ относи­тельно нормальной земной системы координат OXeYgZg может быть полностью определено тремя углами: ф, #, у, называемыми углами. Эйлера. Последовательно поворачивая связанную систему

Рис. 1.L Нормальная земная OXgYgZg и связанная OXYZ системы координат Рис, 1.2, Углы Эйлера, используемые при исследовании динамики самолетов

координат на каждый из углов Эйлера, можно прийти к любому угловому положению связанной системы относительно осей нор­мальной системы координат.

При исследовании динамики самолетов используются следу­ющие понятия углов Эйлера.

Угол рыскания г]) — угол между некоторым исходным напра­влением (например, осью 0Xg нормальной системы координат) и проекцией связанной оси самолета на горизонтальную пло­скость. Угол положителен, если ось ОХ совмещается с проекцией продольной оси на горизонтальную плоскость поворотом вокруг оси OYg по часовой стрелке.

Угол тангажа # — угол между продольно# осью самолета ОХ и местной горизонтальной плоскостью OXgZg, Угол положителен, если продольная ось находится выше горизонта.

Угол крена у — угол между местной вертикальной плоскостью, проходящей через ось ОХ у и связанной осью 0Y самолета. Угол положителен, если ось О К самолета совмещается с местной вер­тикальной плоскостью поворотом вокруг оси ОХ по часовой стрелке. Углы Эйлера могут быть получены последовательными поворотами связанных осей относительно нормальных осей. Бу­дем считать, что нормальная и связанная системы координат в начале совмещены. Первый поворот системы связанных осей произведем относительно оси О на угол рыскания г]; (ф совпадает с осью OYgXрис. 1.2)); второй поворот —относительно оси 0ZX на угол Ф (‘& совпадает с осью OZJ и, наконец, третий поворот произведем относительно оси ОХ на угол у (у совпадает с осью ОХ). Проектируя векторы ф, Ф, у, являющиеся составляющими

вектора угловой скорости движения самолета относительно нор­мальной системы координат, на связанные оси, получим уравне­ния связи между углами Эйлера и угловыми скоростями вращения связанных осей:

со* = Y + sin *&;

o)^ = i)COS’&cosY+ ftsiny; (1.1)

• •

со2 = ф cos у — ф cos Ф sin у.

При выводе уравнений движения центра масс самолета необ­ходимо рассматривать векторное уравнение изменения количества движения

(

ли -V

-^- + о>xV)=# + G, (1.2)

где ю — вектор скорости вращения связанных с самолетом осей;

R — главный вектор внешних сил, в общем случае аэродинами-

ческих сил и тяги; G — вектор гравитационных сил.

Из уравнения (1.2) получим систему уравнений движения ЦМ самолета в проекциях на связанные оси:

т (~Ж~ + ~ =

т (гЗ?~ + °hVx ~ °ixVz) = Ry + G!!’ (1 -3)

т iy’dt “Ь У — = Rz + Gz>

где Vx, Vy, Vz — проекции скорости V; Rx, Rz — проекции

результирующих сил (аэродинамических сил и тяги); Gxi Gyy Gz — проекции силы тяжести на связанные оси.

Проекции силы тяжести на связанные оси определяются с ис­пользованием направляющих косинусов (табл. 1.1) и имеют вид:

Gx= — G sin ft;

Gy = — G cos ft cos у; (1.4)

GZ = G cos d sin y.

При полете в атмосфере, неподвижной относительно Земли, проекции скорости полета связаны с углами атаки и скольжения и величиной скорости (V) соотношениями

Vх = V cos a cos р;

Vу = — V sin a cos р;

V2=V sin р,

система	oxg	oyg	07.g
ОХ	cos ф cos ft	sin 6	—sin Ф cos ft
OY	—COS ф sin ‘б cos у -(-	cos 0 cos у	cos ф sin у +
+sin ф sin у	-f — sin ф sin 6 cos у
OZ	cos ф sin ft sin y-f — 4 sin ф cos у	—cos 6 sin у	cos ф cos у — — sin ф sin 6 sin у

Таблица 1.1

Направляющие косинусы между нормальной земной и связанной системами координат

Нормальная земная система

Связанная

Выражения для проекций результирующих сил Rx, Rin Rz имеют следующий вид:

Rx = — cxqS — f Р cos ([>;

Rty = cyqS p sin (1.6)

Rz — czqS,

где cx, cy, сг — коэффициенты проекций аэродинамических сил на оси связанной системы координат; Р — гяга двигателей (обычно Р = / (У, #)); Фн — угол заклинення двигателя (фя > 0, когда проекция вектора тяги на ось 0Y самолета—положительна). Далее везде будем принимать = 0. Для определения входящей в выражение для скоростного напора q величины плотности р (Н) необходимо интегрировать уравнение для высоты

= Vx sin ft+ Vy cos ft cos у — Vz cos ft sin у. (1.7)

Зависимость p (H) может находиться по таблицам стандартной атмосферы либо по приближенной формуле

р^0,125е-*",

где для высот полета И с 10 000 м К ж 10~4 [1/м]. Для получения замкнутой системы уравнений движения самолета в связанных осях уравнения (13) необходимо дополнить кинематическими

17

соотношениями, которые позволяют определять углы ориентации самолета у, ft, г]1 и могут быть получены из уравнений (1.1):

■ф = Кcos У — sin V):

■fr = «у sin у + cos Vi (1-8)

Y = со* — tg ft (©у cos y — sinY),

а угловые скорости cov, со,,, coz определяются из уравнений движе­ния самолета относительно ЦМ. Уравнения движения самолета относительно центра масс могут быть получены из закона измене­ния момента количества движения

-^-=MR-ZxK.(1.9)

В этом векторном уравнении приняты следующие обозначения: ->■ ->

К — момент количества движения самолета; MR — главный мо­мент внешних сил, действующих на самолет.

Проекции вектора момента количества движения К на подвиж­ные оси в общем случае записываются в следующем виде:

К t = I х^Х? ху®у I XZ^ZI

К, Iху^х Н[ IУ^У Iyz^zi (1.10)

К7. — IXZ^X Iyz^y Iz®Z*

Уравнения (1.10) могут быть упрощены для наиболее распростра­ненного случая анализа динамики самолета, имеющего плоскость симметрии. В этом случае 1хг = Iyz — 0. Из уравнения (1.9), используя соотношения (1.10), получим систему уравнений дви­жения самолета относительно ЦМ:

h -jf — — hy («4 — ©Ї) + Uy — !*) = MRZ-

Если за сси OXYZ принять главные оси инерции, то 1ху = 0. В связи с этим дальнейший анализ динамики самолета будем производить, используя в качестве осей OXYZ главные оси инер­ции самолета.

Входящие в правые части уравнений (1.11) моменты являются суммой аэродинамических моментов и моментов от тяги двигателя. Аэродинамические моменты записываются в виде

Мх = mxqSl;

Му = myqSl

Мг = mzqSbAi

где тХ1 ту, mz — безразмерные коэффициенты аэродинамических моментов.

Коэффициенты аэродинамических сил и моментов в общем случае выражаются в виде функциональных зависимостей от ки­нематических параметров движения и параметров подобия, за­висящих от режима полета:

у, г mXt = F(а, р, а, Р, coXJ coyj со2, бэ, ф, бн, М, Re). (1.12)

Числа М и Re характеризуют исходный режим полета, поэтому при анализе устойчивости или управляемых движений эти парамет­ры могут быть приняты постоянными величинами. В общем случае движения в правой части каждого из уравнений сил и моментов будет содержаться достаточно сложная функция, определяемая, как правило, на основе аппроксимации экспериментальных данных.

Нарис. 1.3 приведены правила знаков для основных пара­метров движения самолета, а также для величин отклонений органов и рычагов управления.

Для малых углов атаки и скольжения обычно используется представление аэродинамических коэффициентов в виде разложе­ний в ряд Тейлора по параметрам движения с сохранением только первых членов этого разложения. Такая математическая модель аэродинамических сил и моментов для малых углов атаки доста­точно хорошо согласуется с летной практикой и экспериментами в аэродинамических трубах. На основании материалов работ по аэродинамике самолетов различного назначения примем следу­ющую форму представления коэффициентов аэродинамических сил и моментов в функции параметров движения и углов отклонения органов управления:

сх ^ схо 4~ сх (°0»

су ^ СУ0 4" с^уа 4" С!/Ф;

сг = cfp + СгН6„;

тх — itixi|5 — f — ■Ь тхха>х-(- тх -f — /л* (І -|- — J — Л2ЛП6,,!

0-13)

о (0.— (0^— р • б б„

ту = myfi + ту хо)х + ту Уыу + р + га/бэ + ту бн;

СО * "т*

тг = тг (а) + тг zwz /я? ф.

При решении конкретных задач динамики полета общая форма представления аэродинамических сил и моментов может быть упрощена. Для малых углов атаки многие аэродинамические коэффициенты бокового движения являются константами, а про­дольный момент может быть представлен в виде

mz (а) = mzo + т£а,

где mz0 — коэффициент продольного момента при а = 0.

Входящие в выражение (1.13) составляющие, пропорциональ­ные углам аир, обычно находятся из статических испытаний моделей в аэродинамических трубах или расчетом. Для нахожде-

НИЯ производных, twx (у) необходимо проведение

динамических испытаний моделей. Однако в таких испытаниях обычно происходит одновременное изменение угловых скоростей и углов атаки и скольжения, в связи с чем при измерениях и обра­ботке одновременно определяются величины:

СО — СО- ,

тг* = т2г —mz;

0) , R. Юу I в.

mx* = тх + тх sin а; ту* = Шух ту sin а.

СО.. (О.. ft СО-. СО.. ft

ту% = т,/ -|- tiiy cos а; тх% = тху + тх cos а.

В работе [13] показано, что для анализа динамики самолета,

особенно на малых углах атаки, допустимо представление момен-

• —- 9

тов в виде соотношений (1.13), в которых производные mS и т$

приняты равными нулю, а под выражениями т®х, и т. д.

понимаются величины m“j, т™у [см. (1.14)], определяемые в экс­перименте. Покажем, что это допустимо, ограничив рассмотрение задачами анализа полета с малыми углами атаки и скольжения при постоянной скорости полета. Подставив в уравнения (1.3) выра­жения для скоростей Vх, Vy, Vz (1.5) и производя необходимые преобразования, получим

= % COS а + coA. sina — f -^r [j + ~- sin у cos fh (1.15)

> 

21

Используя это выражение, можно преобразовать составляющие, обусловленные нестационарными характеристиками в выражениях для tnXi ту (1.13)

Ат у = m“|toy + т"у*<лх — j — mf, c p + mf sin у cos ft. (1.17)

В каждом из выражений (1.16) и (1.17) основными являются первые два члена. Как показывают расчеты, влияние выделенных членов в выражениях (1.16), (1.17), пропорциональных р и у, мало, и ими обычно можно пренебречь. Например, члены, про­порциональные р, составляют не более 1…5 % от соответству-

ющих величин и что лежит в пределах точности опре­деления этих производных.

Учитывая приведенные соображения, в настоящей работе будет использоваться представление нестационарных аэродинами­ческих характеристик в виде объединенных выражений (1.14), причем для сокращения записи производные (1.14) будут записы­ваться без нижнего индекса. Применительно к характеристикам продольного движения такие упрощения в общем случае являются грубыми, и при точных расчетах необходимо использовать пред­ставление коэффициентов продольного момента в виде (1.13) с со­хранением членов mioz и При приближенных оценках ди-

z ~

намики самолета с достаточным запасом устойчивости эти производ­ные могут быть объединены В одну производную triz* = trizZ + tUz — Возможность использования аэродинамических характеристик, полученных при статических испытаниях, либо при динамических испытаниях в аэродинамических трубах на экспериментальных установках с использованием методов вынужденных колебаний для исследования устойчивости и движения самолета при малых возмущениях подтверждается удовлетворительной сходимостью расчетов соответствующих движений с материалами летных испы­таний. Целью настоящей работы, как уже отмечалось, является анализ пространственных движений, в которых имеется быстрое вращение самолета относительно вектора скорости с наложенными на это движение колебаниями. Допустимость применения аэро­динамических характеристик, полученных перечисленными способами, для такого движения отнюдь не очевидна. Строго говоря, для исследования динамики вращающегося по крену само­лета необходимо использование аэродинамических характеристик, определенных на специальных динамических установках, на кото­рых в качестве исходного реализуется вращательное движение модели самолета относительно вектора скорости. Таких система­тизированных материалов для малых углов атаки в настоящее время имеется недостаточно. Однако возможен прямой путь про­верки принятой модели аэродинамики — путь сопоставления ма­териалов летных испытаний самолета с результатами расчетов его движения, в которых моделируются те же отклонения органов управления, что и в полете. При получении соответствия резуль­татов для достаточно широкого спектра управляемых движений самолета можно с большой вероятностью полагаться на принятую аппроксимацию аэродинамики. В качестве иллюстрации получа­емых таким путем результатов на рис. 1.4 приведены примеры сопоставления записей изменения некоторых параметров движения самолета с результатами расчетов соответствующих режимов полета. На рис. 1.4, а, б приведены примеры записей параметров

движения при полете на дозвуковых скоростях, а на рис. 1.4, в на сверхзвуковых скоростях полета (пунктиром показаны записи, полученные в полете). Из сопоставления расчетов с материалами летных испытаний видно их удовлетворительное качественное соответствие. Некоторые количественные расхождения могут быть отнесены к недостаточно і очной модели датчиков перегрузок, используемой в расчете, и к необходимости некоторой коррек­тировки характеристик, полученных при испытаниях в аэро­динамических трубах, по материалам летных испытаний, что в приведенных примерах расчетов не делалось* Удовлетворитель­ное соответствие реального движения самолета и расчетов, вы­полненных с использованием аэродинамических характеристик, полученных при статических испытаниях, обусловлено линей­ностью аэродинамических характеристик в рассматриваемом диа­пазоне углов атаки и скольжения самолета. Порядок максималь­ной величины изменения угла атаки при быстром вращении само­лета может быть оценен по величине со*, которая приближенно равна изменению угла атаки на конце крыла самолета (Дак)

Лак « «>х = — Tgfr •

Учитывая, что реальные величины со* < 0,07…0,1, получим, что наибольшие изменения угла атаки составляют величины 3…5 и при исходной величине угла атаки а0 < 10… 12° аэродина­мические характеристики самолета, как правило, остаются в ли­нейной области значений.

Учитывая приведенные ранее материалы, при анализе дина­мики самолета будут использоваться представления аэродина­мических характеристик в виде (1.13), определяемые по существу­ющим в настоящее время методам в аэродинамических трубах.