МОДЕЛИ ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ ИЗМЕНЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ ПРИ ОТРАБОТКЕ

Задача статистического оценивания изменения надежности объекта возникает после того, как процесс отработки окончен или выполнена какая-либо его часть. При этом может быть использована накопленная опытная информация, в первую очередь исходы испытаний (успехи или отказы). Кроме того, для про­веденной части или всего процесса достоверно известны моменты вне­сения доработок —номера испытаний, после которых объект отрабаты­вался с изменениями в конструкции или технологии изготовления (экс­плуатации). Эти сведения являются важной дополнительной информа­цией, которая позволяет исключить из модели параметры и я2, т. е. вероятности проведения доработок после успешных и неуспешных испытаний, а также точнее описать реализацию процесса.

Перейдем к формированию модели, определяющей реализацию Р} процесса изменения надежности объекта. Пусть проведена серия из я испытаний (j — 1, 2, …, л), в ходе которых выполнено v < п доработок (і = 1,2, …, v). Известны также моменты внесения дора­боток, т. е. определена связь i(j). Например, первая доработка следо­вала после третьего испытания, вторая — после четвертого, третья — после седьмого и т. д. Поскольку моменты внесения доработок досто­верно известны, то даже при самой общей постановке задачи необходимо ввести только один оператор АР,: изменения надежности после проведе­ния t-й доработки, а не два оператора (4.16) и (4.17), описывающие при­ращение надежности после успешного и неуспешного исхода испыта­ний. Используем линейный оператор

АР і = Oj(l — Р,_і) — Wi, (4.43)

в котором коэффициенты о; и Ьг отражают эффективность и негатив­ность і-й доработки. При использовании оператора (4.43) функция, описывающая изменение надежности Pt после проведения доработок (следовательно, и изменение надежности Р} после проведения /-го испытания, так как задана связь i(j)], будет зависеть от m = 1 + 2ч параметров:

Pi = Р(Р0, аи Ъи І). (4.44)

Поскольку доработки объекта проводят довольно часто, то трудно обеспечить п» т и, следовательно, сохранить в модели переменные коэффициенты эффективности и негативности каждой доработки. Од­нако может быть использована дополнительная информация о коли­честве причин отказа, устраняемых в одной доработке. Например, после третьего летного испытания ЛК была приведена доработка, в процессе которой внесли изменения в конструкцию двигателя ЛА, технологию производства одного из приборов бортовой системы управ­ления, а также конструкцию дренажного клапана бака-окислителя, т. е. в доработке устранялись три предполагаемые причины отказов ЛА. После других испытаний возможно устранение меньшего или больше­го количества причин отказов.

Заметим, что обычно в начале отработки вскрывается большее число причин отказов объекта, чем на завершающей стадии.

С учетом высказанных соображений можно ввести следующее до­пущение:

at = kta bt = ktb, (4.45)

где kt — количество причин отказов, устраняемых в одной доработке; а, b — постоянные в ходе отработки одного объекта коэффициенты, характеризующие эффективность и негативность устранения в дора­ботке одной причины отказов.

При допущении (4.45) оператор (4.43) принимает вид

A Pt = М(1 — Pt-1) — kibPi. i. (4.46)

Заметим, что величины /е; достоверно известны после проведения испытаний, т. е. оператор (4.46) зависит только от двух неизвестных параметров.

Таким образом, искомая функция Pt при допущении (4.45) зависит только от трех параметров:

Pi = Р(Р0, а, Ь; 0, (4-47)

т. е. она может быть статистически оценена уже при числе испытаний п> 3.

Схема применения оператора (4.46) в рассматриваемой модели зна­чительно проще, чем в моделях математического ожидания: в досто­верно известные, определенные по результатам испытаний моменты i(j) проводится доработка, в результате которой надежность объекта изменяется на величину АРг.

Сравнивая наиболее общую модель математического ожидания 1см. (4.40) и табл. 4.1) с моделью реализации (4.46), можно заметить,

что при описании реализации удалось сохранить большую общность учетом переменности коэффициентов сц, bt. Однако использование до­стоверной информации о моментах внесения доработок и количестве устраняемых в них предполагаемых причин отказов значительно упро­стило модель, так как последняя содержит только три неизвестных параметра и имеет простую логическую схему. Это позволяет точнее оценивать изменения на­дежности (см. гл. 5).

Получим явное выраже­ние для функции Pt (4.47).

В соответствии с логикой модели надежность повы­шается от начального зна­чения Р0 за счет проведе­ния доработок, т. е.

Pi = Ро + І APS. (4.48)

S=1

Таким образом, искомая функция изменения надеж­ности — ступенчатая. Если на оси абсцисс нанести но­мера доработок, то функ­ция Pi будет изменяться скачками APt в точках t = 1,2, …. V. Поскольку

известна связь i(j) или j(i), т. е. количество испытаний между любыми двумя соседними доработками, то можно построить такую функцию Pj(i), которая будет иметь скачки только в тех значениях /, в которых проводились доработки (рис. 4.4).

Подставив оператор (4.46) в (4.48), получим

Pi = Ро + 2 К [а (1 — Р^) — WY.1. (4.49)

S~t

Выражение (4.49) является рекуррентным, однако в последова­тельности значений Pi можно найти общий член. Покажем это. Выразим величину Pt через предыдущее значение Рг_і:

Pt = Рі_± + АР і = Pt_i + ki [а (1 — Р^) — ЬРі. і]. (4.50)

Введем обозначения

а + b = А; а/(а + Ь) — Р<», (4.51)

при которых (4.50) после очевидных преобразований принимает вид

Pi = Ра,— (Poo — Pi-i) (1 — Aki). (4.52)

В соответствии с (4.52) составим ряд последовательных значений функции Pt:

, O’)

р 1 = Рсо— (Poo — P0)(l — Л/еА);

^2 = Poo — (Р~ — Р.) (1 — Л*2) = Рм — [Рет — Рм +
+ (Рте-Р0)(1 — Л*,)] (1-Л^2) = Р0О-
— (Рсо — Р0)(1 — Akt)( — Ak2);

Рз = Poo — (Р« — Р2) ( 1 — Л*3) = Р,„ —
— (Рос — Ро) (1 — Л/г.) (] — Л/г2) (1 — Akз);

Pj — Рсо — (Poo — Рі_і)(1 — Л&;) = Рос — (Рм — Р0) х

х (1 —ЛАОС! —ЛЛг2)(1 —ЛЛ3)…(1 —Л^4). (4.53)

Таким образом, на основании (4.53) с учетом (4.51) искомая функция может быть записана в виде

І

Pi = Poo — (Poo — P0) П (1 — akJPM). (4.54)

S=I

Выражение (4.54) позволит найти все значения функции, кроме P0(t = 0). Поэтому формально будем считать, что при і — 0 существует нулевая доработка, в которой число устраняемых причин отказов тож­дественно равно нулю (k0 = 0). При этом нижний предел произведения в (4.54) можно расширить, включив и точку і = 0, что дает более об­щую формулу, включающую в себя значение Рг = Р0:

І

Pi = Рос — (Рос — Ро) п (1 — akJPco) {К = 0; і = 1, 2,…, V) (4.55)

5=0

Выражение (4.55) — искомая модель реализации процесса изме­нения надежности объекта при отработке. При одинаковом количестве причин отказов, устраняемых в каждой доработке, т. е. при

ki = k — const, (4.56)

выражение (4.55) упрощается:

Рг = р„ _ (рм — Р0) (1 — ak/Pay. (4.57)

Введя обозначение

Зі — —1п(1 — й^/Роо), (4.58)

получим трехпараметрическую экспоненциальную модель

Рг = Роо — (ртс — р0) е-9**’. (4.59)

Так как обычно а£/Роо« 1, то 3t = —1п(1 — ak/PJ) да ak/Poo и зависимость (4.59) можно представить в виде

Pi да Рсс — (Р — Р0) е"~akl/P°°. (4.60)

Записи формул (4.57) и (4.60) с точностью до обозначений совпа­дают с моделями математического ожидания процесса (4.30) и (4.33).

Однако это совпадение формальное. Выражения (4.30) и (4.33) связы­вают достигнутую надежность с номером испытания у, а модели (4.57) и

(4.60) — с номером доработки і. Поскольку в процессе испытаний объек­тов, как правило, темп внесения доработок неравномерный, то (4.57) и (4.60) являются довольно сложными функциями от аргумента і, которые в общем случае можно аппроксимировать гладкой кривой с числом перегибов (v — 1), где v — число доработок в п испытаниях (рис. 4.4). Модели (4.57) и (4.60) отражают задержки изменения надеж­ности, когда в течение нескольких испытаний не удается установить причины отказов и провести доработки, а также увеличение частоты доработок в начале и уменьшение — в конце отработки.

Введем еще одно упрощающее допущение. Будем полагать, что при проведении п испытаний v доработок проведено равномерно, т. е. число испытаний между любыми двумя соседними доработками остается постоянным. При этом существует линейная зависимость между номером доработки і и номером испытаний у:

І = ‘t jin.

С учетом (4.61) модель (4.57) можно преобразовать так, что изме­нение надежности будет зависеть от номера испытаний:

Рі = Рсо — (Poo — Ро) (1 — aklPa>yiln. Аналогично, модели (4.59) и (4.60) принимают вид

(4.63)

Выражение (4.63) полностью совпадает с моделью математическо­го ожидания (4.30) или (4.33), так как использованные допущения (4.56) и (4.61) при переходе от модели реализации процесса (4.55) к зависимости (4.63) превращают схему образования реализации про­цесса в схему математического ожидания. Действительно, допущение

(4.61) о равномерном темпе внесения доработок отвечает схеме, пред­ставленной в табл. 4.2 и положенной в основу модели (4.30), при ко­торой предполагают, что доработки проводят после каждого испытания с постоянной вероятностью л. При допущении (4.56) с точностью до обозначений (ka и a, kb и Ь) совпадают операторы преобразования на­дежности (4.46) и (4.25). Таким образом, частота доработок v/n являет­ся аналогом вероятности проведения доработки л. Этот факт может быть использован для определения величины л при прогнозировании процесса изменения надежности объекта по данным отработки подоб­ных образцов в близких условиях.

Анализ процесса изменения надежности объекта при отработке показывает, что с увеличением числа доработок реализации стяги­ваются к математическому ожиданию, а само математическое ожидание асимптотически стремится к величине Рто. На рис. 4.5 сплошной ли­нией показано характерное изменение математического ожидания

процесса, пунктирной линией — 95%-ные доверительные пределы, в которых могут рассеиваться отдельные реализации процесса, штрих — пунктирной линией — значение Рос. Поэтому при большом числе доработок (і — 30 70) модели реализации процесса могут быть с

допустимой погрешностью заменены более простыми моделями мате­матического ожидания.

Для приближенных оценок процесса изменения надежности объек­та может быть использована модель (4.63) в предположении, что Poo— 1:

Pj= 1 — (1 — Р0)е~э>. (4.64)

Если установить требуе­мое значение надежности Ртр объекта, которое должно быть достигнуто после проведения испытаний, то, задаваясь па­раметрами Р0 и Э, нетрудно найти и требуемое число ис­пытаний п.{р. Действительно, в соответствии с (4.64) можно записать

Ртр = 1 — О — Р„)е 5"тр,

откуда после очевидных пре­образований получим

1 і 1 — Р„

«тп =—— ІГ1 ————

Р Э 1 ”

1 На рис. 4.6 показаны графики изменения надежности объекта при различных значениях параметров Э и Р0. Из рисунка видно, что влия­ние параметра Э на рост надежности значительно сильнее величины начальной надежности. Заметное уменьшение величины Р0 с 0,3 до 0,1 может быть компенсировано увеличением параметра Э от 0,10 до

0,11. В этих условиях требуемая надежность 0,95 может быть достиг­нута после одинакового числа испытаний (n.[V= = 30). Используя мо­дель (4.64), найдем вы­ражение для параметра

Э. Введем дополнитель­ные обозначения:

Qo — і р0;

Qj = Q„e~91-

Продифференцируем (4.67) по j:

-^=- 3Q„e~31 = -3Q,

и разрешим его относительно Э:

Э = —<Ю — (4.68)

dj Qj

Перейдем в (4.68) к конечным разностям при А/ = 1:

Э « —AQj/AjQj = -(<2; — Qj_i)/Qj.

С учетом (4.66) получим

5 « -[(1 — Р,.) — (] — Р^л)1/(1 — Pj) = (Р) — Pj. i)/( 1 — Р,). (4.69)

Таким образом, параметр 5 характеризует средний прирост надеж­ности объекта за счет одного испытания, отнесенный к оставшейся ненадежности.