Уравнения связи пролета с ускорениями. цели и ракеты

Согласно определению пролета R он является крат­чайшим расстоянием между целью и ракетой при усло­вии их прямолинейного относительного движения. При известных векторах скорости Vv и лежащих в одной плоскости, пролет может быть легко определен как проекция дальности на перпендикуляр к вектору относительной скорости ї^отн (рис. 1.10):

Vor«=Va-Vp. (1.64)

Можно показать, что в плоском движении

Л<(■>_. ,,.65)

^отн

При ПОСТОЯННОЙ относительной скорости Уотн, Диффе­ренцируя выражение (1.65) и учитывая уравнение (1.50), получим уравнение, связывающее пролет с ускорениями цели и объекта, в виде

R — r^~ У2т, — (1.66)

І’ОТН

где проекция суммарного ускорения на перпендикуляр к
линии дальности /jT определяется выражением (1.51).

Поскольку в формуле (1.66) 1Л)тн=const, ТО

(1.67)

V ОТН

т. е. равно оставшемуся времени полета до момента встре­чи tB. Поэтому формула (1.66) может быть также пред­ставлена в виде

Я=(*в-0Лт.

Заметим, что на траекториях сближения, близких к встречным, пролет может быть приближенно выражен через линейное отклонение АЛ, определяемое выражени­ем (1.52). Действительно, при ео=q выражения (1.51) и (1.58) совпадают. Поэтому

£ = (*,-*) ДА. (1.69)

Интегрируя обе части этого уравнения по времени, по­лучим

/?(*)=(*.-*) ДА + ДА (0. (1.70)

Полученные уравнения связи описываются дифферен­циальными уравнениями и представляют собой инерци­онные элементы контура наведения. В системах телеуп­равления, когда сигналы ошибок представляются в виде линейных отклонений, уравнения связи в отличие от кон­тура самонаведения стационарны.

Другим характерным элементом контура телеуправ­ления является метод наведения, наиболее часто ис­пользуемый в системах управления ракетами [11]. Как отмечалось, метод наведения определяет изменение во времени параметров заданной траекторий ракеты, обес­печивающей в отсутствии ошибок измерения ее попада­ние в цель. Поскольку точность наведения^определяется пролетом, то любой закон изменения параметров траек­тории ракеты, обеспечивающий нулевой пролет в момент встречи, может быть принят в качестве закона наведения. Очевидно, существует бесчисленное множество методов наведения, удовлетворяющих требованию нулевого про­лета (или дальности) в один момент встречи. Другими словами, для данной траектории цели существует бес­численное множество пересекающих ее, по крайней ме­ре в одной точке, траекторий ракеты.

Поэтому при выборе метода наведения принимаем во внимание ряд дополнительных требований к траекто­рии движения ракеты. Наиболее существенными считаем два требования:

1 — траектория должна определяться параметрами цели, которые могут быть измерены с достаточно малы­ми ошибками;

2 — ускорения при движении по траектории, опреде­ляемой законом наведения, должны быть малыми. При этом должны быть максимально использованы баллисти­ческие возможности ракеты.

Следует отметить, что эти требования приводят при выборе метода наведения к необходимости учета ошибок измерения датчиками информации параметров траекто­рии цели и ракеты в различных условиях; анализа влия­ния этих ошибок на точность наведения; значений распо­лагаемых ускорений ракеты; времени ее полета до точки встречи. Строго говоря, метод наведения может быть оп­ределен только совместно с контуром управления с уче­том систематических и случайных ошибок радиолокато­ров и счетно-решающих устройств, а также маневренных возможностей ракеты. При этом задача выбора закона наведения выходит за рамки кинематического анализа процесса наведения и становится задачей синтеза систе­мы наведения с учетом динамических характеристик ее элементов.

Эта задача достаточно сложна и ее математическая формулировка, а также возможные пути решения будут рассмотрены ниже. Здесь мы ограничимся рассмотрением некоторых классических законов наведения, которые яв­ляются предельными случаями указанных требований. Идеальным методом наведения с точки зрения необхо­димого ускорения ракеты, расходуемого на управление, является метод наведения, обеспечивающий ее полет в точку встречи с целью без ускорения. В принципе он мо­жет быть реализован, например, при движении ракеты по баллистической траектории, учитывающей характер изменения скорости ракеты, имеющей начало в точке старта, а конец в точке встречи и лежащей в вертикаль­ной плоскости, проведенной через эти две точки [24, 27, 31]. При заданном режиме работы двигателя и известной точке встречи такая траектория может быть осуществле­на при управлении начальным углом и величиной векто­ра скорости в момент старта или начала пассивного уча­стка. Однако с точки зрения использования баллистиче­ских возможностей ракеты (обеспечение максимальной дальности активного полета, максимальной средней ско­рости и т. д.) этот метод может оказаться не опти­мальным [7].

Другим существенным недостатком этого метода мо­жет быть необходимость определения координат точки встречи и полетного времени по траектории с высокой точностью, определяемой величиной конечного пролета. Для этого необходимо осуществлять пролонгацию траек­тории цели на длительное время. Большие вычисдитель — ные трудности представляет также задача точного опре­деления времени полета ракеты до точки встречи, ко­торая может быть сведена к системе трансцендентных уравнений.

Таким образом, вопрос о возможности использования закона наведения, обеспечивающего полет в точку встре­чи, может быть решен при известных характеристиках точности датчиков, вычислителей для определенных клас­сов целей.

К группе методов наведения, основанных на пролон­гации траектории цели, относится также метод парал­лельного сближения, который обеспечивает прямолиней­ный полет ракеты в точку встречи с целью, движущейся прямолинейно с постоянной скоростью. При выполнении гипотезы о прямолинейности полета цели и отсутствии ошибок измерения координат ускорения ракеты необ­ходимы лишь для компенсации силы тяжести, т. е. g = 9,8 м/сек2.

Прямолинейная траектория движения ракеты в точ­ку встречи осуществляется, если вектор дальности раке­та — цель имеет постоянное направление (ориентацию) в пространстве, т. е. перемещается параллельно самому себе. ‘

Действительно, линия дальности D будет неподвижна, если угловая скорость ее вращения q равна нулю. Из рис. 1.8 можно получить уравнение, связывающее q и про­екции скоростей ракеты Vp и цели V4 на перпендикуляр к линии дальности:

£><7=Kpsin(0p—q)— l/nsin(0„—q). (1.71)

При ЭфЪ

<7=0, (1.72)

если VpSin(0p—?)= Уд8іп(0„ — q). (1.73)

При постоянных Ур и Уц равенство (1.73) является ус­ловием встречи двух тел, летящих прямолинейно с по­стоянными скоростями. Это утверждение следует из рис. 1.11, где В обозначена точка встречи, а АВ — пер­
пендикуляр к линии дальности D между ракетой Р и це­лью Ц. Поскольку для встречи в точке В необходимо

ВЦ = ВР Уц~Ур ’

то из соотношения (1.74) получаем выражение (1.73).

Таким образом, условие по­стоянства направления вектора дальности ракета-цель есть усло­вие прямолинейного полета в точ­ку встречи при постоянных ско­ростях Vp и Кц.

В зависимости от измеряемых параметров траекторий цели и ракеты метод параллельного сближения может быть осущест­влен условием (1.72), если изме­ряется угловая скорость линии дальности D, либо условием

<7(^)=const, (1.75)

если измеряется угол вектора D в какой-либо системе координат, либо условием

АА “*««(/)-Ар (*) = 0;

Азад (0~ru (£« so)’ Ap^TpSin^p Sq),

если измеряются линейные отклонения цели и ракеты от фиксированной линии отсчета, расположенной под углом со — Различия между условиями (1.72), с одной стороны, и (1. 75), (1. 76) —с другой, состоят в том, что в первом случае положение вектора D в пространстве не фиксиро­вано, и он остается параллельным направлению, которое имело место в начальный момент выполнения условия (1.72). Во втором случае система наведения стремится обеспечить параллельной^ вектора D фиксированной ли­нии отсчета.

Поэтому условия (1.75) и (1.76) являются более же­сткими в общем случае требованиями, чем условие (1.72).

Уравнение связи (1.50) позволяет оценить потребные ускорения ракеты при наведении по методу параллель­ного сближения на маневрирующую цель.

Для обеспечения условия q = q=0 из уравнения (1.50) необходимо, чтобы суммарная проекция ускорения на перпендикуляр к линии дальности /sT равнялась нулю, начиная с момента to, в который д(/о)—0. Из (1.51) при этом следует, что проекция ускорения ракеты на перпен­дикуляр к вектору D должна быть равна проекции уско­рения цели на это направление. Поэтому потребные уско­рения ракеты для обеспечения метода параллельного сближения близки к ускорениям цели.

Из выражения для определения пролета (1.66) сле­дует, что при методе параллельного сближения он равен •нулю при любом і. Недостатком метода параллельного сближения, как, впрочем, и любого «упрежденного мето­да», является необходимость, помимо остальных пара­метров, знания дальности от пункта управления до це­ли. Поскольку дальномерный канал радиолокатора менее помехозащищен, чем угломерные каналы [7], то он опре­деляет низкую помехозащищенность метода, если цель снабжена помехами. Кроме того, в связи с большим упреждением флюктуационные ошибки и перегрузки ра­кеты могут быть выше, чем при других методах и в нор­мальных условиях наведения. Реализация метода связа­на с определенными трудностями. Этих недостатков ли­шен трехточечный метод наведения, или метод накрытия цели [11], не требующий измерения дальности от пункта управления (радиолокатора) до цели.

При трехточечном методе наведения ракета должна находиться на линии, соединяющей пункт управления с целью. Это требование будет выполнено, если имеет ме­сто равенство при плоском движении {

£Р=£ц5 Рр=Рц (1-Ю

или

LhT=rр(ец — £р)=0. (1.78)

Поэтому метод может быть осуществлен при измерении только угловых координат цели (угла места ец и азиму­та рц).

Закономерности трехточечного метода наведения мо­гут быть проанализированы на основании равенства (1.77), следствием которого является равенство угловых

скоростей линии дальности ракета-цель и угла места цели, т. е.

(1.79)

Если цель летит прямолинейно при 0ц = 180° с постоянной скоростью Ец, то ее полярные координаты определяются из (1.37) и (1.38) уравнения­ми (рис. 1.12).

Гц=—’V„cose4; (1.80)

Гц6ц=і^ц8ІП8д. (1.81)

Как следует из рис. 1.12, параметр цели р, т. е. кратчай­шее расстояние от оси х, опре­деляется выражением Рис. 1.12. Кинематические

СВЯЗИ ПРИ ТРЄХТ0ЧЄЧН0М МЄ" /7=fusms4. (1.82) тоде наведения

Подставляя выражение (1.82) в уравнение (1.81), на­ходим

£ц Уц

БІп2єц р

%

Из этого уравнения следует

£«W=s«o+arcctg

Р

При условии (1.77) из уравнения (1.38) имеем

гр5«=^р8ІП(9р-5«)’ (1.86)

отсюда

ep(*)=s«+arcsin-^. (1.86)

vv

Это выражение определяет угол наклона вектора ско­рости ракеты при движении по трехточечной траектории. Ускорения ракеты, возникающие при этом, могут быть

определены дифференцированием выражения (1.86) по формуле

/р=^р0р, (1-87)

либо из уравнений (1.50, 1.51) при Уц=Ур=/ц=0, т. е.

(1.88)

Как показывают расчеты, нормальные ускорения ра­кеты /p(f) при трехточечном методе наведения сущест­венно зависят от условий встречи с целью и могут до­стигать значительных величин.

Поэтому обычно в трехточечный закон наведения вводят поправки упреждения еуПр, спрямляющие траек­торию полета ракеты. Методы наведения с упреждени­ем, сформированные на основе трехточечного метода, мо­гут быть записаны в виде

єр==єц"І"£упр* П- 89)

Соответствующим выбором 8уПр можно получить со­вокупность методов, занимающих промежуточное поло­жение между трехточечным методом и методом парал­лельного сближения.

При

£упр=arcsin ^ s’n (£ц — о] — (е„ — е0), (1. 90)

где во — угол линии отсчета, метод, заданный соотно­шением (1.89), совпадает с методом параллельного сбли­жения. f

Если

£упр = ет. в (1.91)

где 8т. в — угол встречи ракеты с целью, то метод (1.89) обеспечивает прямолинейный полет ракеты в точ­ку встречи при Кр = const. В частности, еуПр в соотноше­нии (1.89) может быть вычислен при различных гипоте­зах движения цеди до встречи, например:

(1.92)

где tB — момент встречи. 42

Предположив, что скорость изменения угла места це­ли и скорость сближения цели и ракеты D постоянны, получаем из выражения (1.92)

®упр=£д "7Г * С1-93)

где D — текущее расстояние между целью и ракетой.

При рассматриваемых условиях метод, заданный со­отношением (1.93), обеспечивает полное спрямление траектории ракеты. Однако такой метод, как и метод па­раллельного сближения, чувствителен к случайным ошибкам. Поэтому целесообразно рассматривать частич­ное упреждение’ траектории цели в виде

D •-

еУ“Р = х^е«»

где х<1.

Соотношение (1.94) определяет значение упрежден­ного угла места цели в промежуточной точке между те­кущим положением цели и точкой встречи, определяемой значением коэффициента и. Степень упреждения к зави­сит от соотношения между -случайными и инструменталь­ными ошибками измерения координат и потребными перегрузками метода. Определяющими могут оказаться доподнителыШе требования. Например, некритичность метода к маневру цели в точке встречи и т. д. Различ­ную кривизну траекторий полета ракеты в одинаковых условиях наведения обеспечивает метод наведения, на­зываемый методом пропорциональной навигации [18]. В этом методе угловая скорость вектора скорости ра­кеты 0Р пропорциональна угловой скорости вектора дальности ракета — цель д:

=kq, (1.95)

где k — навигационная постоянная.

Можно показать [7], что при k—>-оо метод пропорцио­нальной наригации совпадает с методом параллельного сближения, а при 4 = 1 с методом наведения по кривой погони, при котором необходимые ускорения ракеты стремятся к бесконечности [11].

Однако в отличие от самонаведения при использова­нии метода пропорциональной навигации в системе теле­управления возникают трудности вычисления q по дан-

ным наземных радиолокаторов. Например, если измеря­ются полярные координаты, то в плоском движении необходимо определять производную выражения

что может быть осуществлено с необходимой точностью только с применением цифровых вычислительных машин. Кроме того, при телеуправлении по методу пропорцио­нальной навигации обычно существенно возрастают флюктуационные перегрузки в конце участка наведения, что во многих случаях может оказаться недопустимым. Анализ методов наведения [7, 18, 11] показывает, что при наличии информации о дальности до цели наряду с ее угловыми координатами может быть обеспечена траекто­рия движения ракеты, близкая к прямой линии при пря­молинейном движении цели. Ускорения ракеты в процес­се наведения при этом определяются ошибками измере­ния координат цели и ракеты. Отказ от измерения дальности до цели (трехточечный метод наведения) при­водит к значительной кривизне траектории ракеты. Вме­сте с тем анализ влияния ошибок измерений на потреб­ные ускорения ракеты при том или ином методе наведе­ния может быть проведен лишь при рассмотрении контура управления в целом. При этом возникает задача определения оптимального метода наведения и метода обработки информации в системе [31]. Эта задача будет рассмотрена в дальнейшем.