ПОКАЗАТЕЛИ БЕЗОТКАЗНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА
Время работы т элемента до отказа является случайной величиной, так как возникновение отказа — случайное событие. Пределы изменений внешних воздействий на элемент и условия его эксплуатации установлены документацией. Однако в этих допустимых пределах свойства самого элемента и режимы его работы изменяются случайно, что приводит к случайным моментам возникновения отказов.
Последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени, называют потоком событий. Если события заключаются в наступлении отказов или восстановлений, то имеет место соответственно поток отказов или поток восстановлений.
Поток событий называют ординарным, если вероятность попадания на произвольный интервал времени (t, I + At) двух (и более) собі, ітий пренебрежимо мала (равна нулю) по сравнению с вероятностью попадания одного события. Заметим, что величина At может быть значительной, притом тем больше, чем реже наступают события (чем нише безотказность элемента). Поток событий называют потоком без последействия, если вероятность попадания k событий на интервал (/, t + At) не зависит от числа и моментов появления событий на других, не пересекающихся с данным, участках.
Ординарный без последействия поток называют пуассоновским. Если события образуют пуассоновский поток, то число событий, попадающих на любой участок (t, t — f — At), распределено по закону редких событий или по закону Пуассона (см. табл. П.1). При этом вероятность того, что случайная величина X числа событий, попавших на интервал (t, t + At), принимающая значения 0, 1,2, …, т, равна т, выражается формулой
вер (X — т) = Рт = е~а, (2.1)
т!
где а — математическое ожидание числа событий, попадающих на а—09 33
интервал (t, t + At), которое называют параметром закона Пуассона. Параметр закона Пуассона может быть найден по формуле
(2.2)
где Ці) — интенсивность потока.
Если вероятность попадания k событий на интервал (t, t + At) зависит от числа k событий и длины интервала At, но не зависит от положения начала интервала t, то такой поток называют стационарным. Для стационарного потока интенсивность постоянна, т. е. постоянно математическое ожидание числа событий в единицу времени.
Пуассоновский стационарный поток называют простейшим, т. е. простейший поток обладает свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия. Для простейшего потока число событий, попадающих на произвольный интервал длиной At, распределено по закону Пуассона с параметром
а = ХА t,
Время т между двумя соседними событиями в простейшем потоке — случайная величина, имеющая экспоненциальный закон распределения с плотностью
(2.4)
Строго говоря, для экспоненциальности распределения времени между двумя событиями требуются только стационарность и отсутствие последействия в потоке (см. [20J).
Перейдем к рассмотрению показателей безотказности невосста — навливаемого элемента, работоспособного в момент начала работы t == 0 и работающего до первого отказа, наступающего в случайный момент t = т. Такая модель работы элемента достаточно проста, и ее анализ позволяет легко установить ряд важных свойств.
Надежность введенного выше элемента полностью определяется его безотказностью, а показатели безотказности — характеристиками случайной. величины т, которую часто называют временем жизни элемента.
Как всякая случайная величина, время жизни элемента имеет закон распределения. Можно полагать, что величина т непрерывна, так как нельзя указать такие моменты времени, в которые отказ не был бы возможен. Обозначим функцию распределения величины т через
Q (t) = вер (т < t),
а плотность вероятности отказа — через
(2.6)
Кроме функции распределения (2.5) часто используют функцию надежности элемента
P(t) = 1 — Q(i) = вер(т> О,
которая представляет собой вероятность безотказной работы элемента за время t. Характерный вид функции показан на рис. 2.2. При t = О в соответствии с принятой моделью элемента (в момент включения работоспособен) имеем P{t = 0) — 1 и по логике при t—y — оо P(t}-> 0. Таким образом, вероятность безотказной работы изменяется в пределах от 0 до 1.
Для принятой модели элемента (работоспособный при включении, работающей непрерывно до первого отказа, происходящего в случайный момент времени) свойство надежности, как уже отмечалось, сводится только к безотказности, а безотказность количественно характеризуется вероятностью безотказной работы за заданное время, принимающей значения от 0 до
I. В практике нередко говорят, что данный объект «имеет надежность 0,95». Это должно означать, что надежность объекта полностью сводится к безотказности и вероятность безотказной работы объекта за какое-то определенное время равна 0,95. Такое сокращение допустимо, если нет сомнений, что обменивающиеся информацией хорошо понимают, о чем идет речь. Далее в книге также будем использовать подобные упрощения, а строгие формулировки применять тогда, когда недостаточно очевидна решаемая задача.
Функции Q(t), q(t), P{t) являются исчерпывающими характеристиками случайной величины т, однако следует ввести и ряд других важных параметров, определяющих безотказность элемента. Так, среднее время безотказной работы Т0, или средняя наработка до отказа (см. І24І), являющаяся математическим ожиданием случайной величины т, может быть найдена в виде
Д0 = Д4[т)== tq(t)dt. (2.8)
6
С учетом (2.6) и (2.7) имеем
оо оо оо
ть=*Ч(0dt = Iі —dГ dt = — JtdP(0- (2.9)
оо о
Интеграл (2.9) может быть взят по частям (t = и, dP(t) — dv). II предположении, что интегралы сходятся, получим
оо оо оо
— tdP(t) = —tP(t) I + P(t)dt. (2.10)
J об
Можно показать, что —tP(t) |"= 0, поэтому из (2.9) и (2.10) окончательно получим связь между средней наработкой до отказа и функцией надежности:
оо
T0-=P(t)dt. (2.11)
о
Таким образом, средняя наработка до отказа численно равна площади под кривой P(t) на интервале (0, оо).
Следующим важным показателем безотказности невосстанавлива — емого элемента является условная, плотность вероятности возникновения отказа, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник. Эту условную плотность вероятности возникновения отказа называют интенсивностью отказов, и по определению она связана с безусловной плотностью вероятности возникновения отказа q(t) следующим выражением:
МО = q(0/P(0- (2.12)
Проделаем с последним выражением (2.12) некоторые очевидные преобразования, используя (2.7) и (2.6):
%(() = = —— ~~—> отсюда получим дифференциальное
уравнение
=^%(t)dt. (2.13)
Р (0
Проинтегрируем левую и правую часть от 0 до t:
ГТГ7= _ ІX(r)dr; 1пР(/) І* = — (М*)*.
6 о о о
так как P(t — 0) = 1 и 1пЯ (t — 0) = 0, то получим lnP(^) =
t
= — j Цт)с1(т) или
б
1
— | (г) dz
P(t) = e 0 . (2.14)
Для произвольного интервала (t±, 4) имеем
U
— j X (т) dz
P(tltt2) = e u. (2.15)
Функция МО для многих объектов имеет характерный вид (рис. 2.3) для разных периодов эксплуатации. Период / называют периодом приработки, в процессе которого устраняют систематические отказы элементов (конструкционные, производственные, эксплуатационные), заменяют элементы, имеющие дефекты. Все это приводит к повышению
вероятности безотказной работы и, следовательно, снижению интенсивности отказов. В периоде //, часто называемом периодом нормальной работы, интенсивность отказов может оставаться постоянной, что приводит и к постоянной вероятности безотказной работы за заданное время. Наконец, в периоде III, называемом периодом старения и износа, интенсивность отказов увеличивается из-за необратимых физико-химических процессов в элементе, связанных с его длительным использованием.
Весьма важным для практики случаем является работа элемента при постоянной интенсивности отказов. Это может быть обеспечено, если приработка проведена до начала эксплуатации элемента, а срок службы исчерпывается до начала износовых отказов, определяющих повышение K(t). В случае, когда
X(t) = К = const, (2.16)
из (2.10) получим
P(t) = e-Kt.
Это выражение называют экспоненциальным законом времени жизни элемента. Для него функция распределения в соответствии с (2.7) принимает вид
<3(0=1— ег-м, (2.18)
а плотность вероятности отказа при t> О
9(t)=^T = te*’ (2-19)
at
что совпадает с выражением (2.4).
С учетом (2.11) и (2.17) средняя наработка до отказа
оо
Т0= Je~^ # = -£-• (2.20)
о
Таким образом, математическое ожидание экспоненциального распределения с плотностью вероятности 9(0 = ке~ХІ (О 0) равно 11%. Вычислим дисперсию этого распределения. По определению,
оо
Dlx] = M[т2] — (М[т])2 = j ПеГ"dt — (1 А)2- (2.21)
О
Интеграл в (2.21) является табличным (см. [26]):
ОО оо
о о
Нетрудно показать, что —/2е-х<|“ = 0. Тогда окончательно получим DM = 1/Х2 и а = / Шт] = 1/1. (2.22)
Таким образом, среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание экспоненциального распределения равны ПК.
Заметим, что интенсивность отказов обратна средней наработке до отказа только в том случае, когда — условие К — const выполняется на всем интервале (0, оо).
Для P(t) > 0,9 или Kt < 0,1 экспоненциальные зависимости (2.17),
(2.19) можно заменить приближенными формулами, основанными на разложении е~и в ряд до линейных членов:
P(f) » 1 — U Q(t) « П, q(t) « Я(1 — Kt). (2.23)
При такой замене наибольшая ошибка при Kt = 0,1 для P(t) не превышает 0,5%. Если такой точности недостаточно, то можно ввести в разложение нелинейный член:
P(t) « 1 — Kt + {Kt)V2; Q(f) » Kt — (Kf)*l2; q(t) » Ml — Kt + + (>./)2/2l. (2.24)
При использовании приближения (2.24) ошибка для P(t) при Kt — = 0,1 составит 0,01% , а при Kt = 0,2 составит 0,15%. В табл. 2.1 приведены точные и приближенные значения P(t), а также абсолютные ошибки для обоих приближений, рассчитанные соответственно по (2.17), (2.23) и (2.24).
Отсутствие последействия для отказов, подчиняющихся экспоненциальному закону, приводит к тому, что вероятность безотказной работы на данном интервале (t, t + Д7) не зависит от времени предшест-
Таблица 2.1
|
вующей работы t, а зависит только от длины интервала т. Пусть элемент проработал безотказно на интервале (0, t). Тогда вероятность безотказной работы элемента на интервале (t, t + т) будет условной вероятностью того, что элемент проработал безотказно на интервалах (О, О и (/, t + т) при условии, что он был безотказен на интервале (О, t), т. е.
P(t, t+f) = P(t+ т )/Р (t) = е“х (/+х)/е_х* = е~Хх. (2.25)
Действительно, вероятность безотказной работы на интервале (t, t + т) зависит только от т.
Экспоненциальный закон широко используют в теории надежности, так как он достаточно прост и удобен, а также имеет определенную физическую основу. Однако его применение в каждом случае должно быть обосновано, потому что на практике часто имеют место более сложные законы возникновения отказов. К ним можно отнести законы Вейбулла, гамма-распределение, семейство нормальных законов и др., характеристики которых приведены в табл. П.1.