Формализация сложной системы
Изучение процессов функционирования крупных производственных, энергетических и других сложных технических комплексов с автоматизированным управлением, систем обработки информации и управления, создаваемых на базе автоматики, электроники и вычислительной техники, обусловило возникновение понятия сложной системы и привело к постановке целого ряда специфических проблем математического и технического характера, привлекающих в последние годы внимание широкого круга исследователей.
Для понимания принципов формализации сложных систем и сущности их имитационного моделирования рассмотрим суть понятия сложной системы и сформулируем их основные отличительные признаки.
Понятие сложной системы. Концепция сложной системы состоит в следующем:
• рассматриваемая система (объект материального мира) может быть расчленена (необязательно единственным образом) на конечное число частей, называемых подсистемами сложной системы; каждая подсистема в свою очередь может быть расчленена на конечное число более мелких подсистем и т. д. — до получения в результате конечного числа шагов таких частей, называемых элементами сложной системы, относительно которых имеется договоренность, что в условиях данной задачи они не подлежат дальнейшему расчленению на части;
• элементы сложной системы функционируют не изолированно друг от друга, а во взаимодействии, при котором свойства одного элемента в общем случае зависят от условий, определяет мых поведением других элементов;
• свойства сложной системы в целом определяются не только свойствами элементов, но и характером взаимодействия между элементами.
Рассмотрение изучаемого объекта материального мира как системы, состоящей из взаимодействующих элементов, построение математической модели для него и исследование его свойств методом моделирования составляет сущность системного подхода, а совокупность методов и приемов исследования входит в арсенал самостоятельного научного направления, получившего название системный анализ.
Понятие сложной системы интуитивно ассоциируется с объектом, состоящим из большого числа элементов и подсистем с разветвленными многоуровневыми связями и сложным взаимодействием между ними. К сложным системам обычно относят производственные процессы крупных предприятий (в частности, процесс испытаний сложных технических систем), автоматизированные системы управления и др.
Для того чтобы задать сложную систему, необходимо (и достаточно) представить описания всех ее элементов и взаимодействия между элементами. В большинстве случаев характер функционирования сложных систем (за исключением так называемых автономных) зависит от условий внешней среды. Поэтому одной из основных задач исследования таких систем является изучение взаимодействия их с внешней средой. Для простоты математического описания удобно представлять внешнюю среду в виде совокупности элементов, аналогичных элементам системы, с той только разницей, что полная модель поведения этих элементов не требуется. Достаточно задать ее лишь в той части, которая относится к формированию соответствующих воздействий на элементы системы.
Использование унифицированного математического описания для элементов системы и объектов внешней среды, а также для взаимодействия элементов системы между собой и внешней средой способствует упрощению моделей, реализуемых на ЭВМ. Кроме того, появляются условия для создания единых приемов исследования сложных систем. В связи с этим в области имитационного моделирования на первый план выдвигается разработка унифицированных моделей и типичных математических схем первичной формализации объектов материального мира, являющихся элементами сложных систем.
Элемент как динамическая система. Все явления и процессы материального мира мы привыкли рассматривать в пространстве и во
времени. В простейшем случае механического движения речь идет о перемещении, которое интерпретируется как изменение положения тела за некоторый интервал времени. Несмотря на естественность таких рассуждений, они уже носят на себе черты формализации. А именно, в каждый момент времени t из некоторого множества Т тело находится во вполне определенном положении z, описываемом его координатами в пространстве. В рассматриваемом случае перемещение является переходом тела из одного положения в другое. Разность ti -1 есть время перехода. В механике перемещение происходит под действием сил, т. е. носит динамический характер.
Эта концепция в основных своих чертах верна и за пределами механики. В настоящее время она понимается очень широко. Вместо «положение» говорят «состояние»: zt — состояние системы в момент t. В электротехнике характеристикой состояния системы может служить величина тока или напряжения в цепи, в термодинамике — температура тела или количество выделяемого тепла. В современной системотехнике состояние системы z, может характеризоваться достаточно большим числом «координат»: zt = (zi, Z2>—>zn) ■
Вместо «перемещение» говорят «движение». Движение является переходом системы из одного состояния в другое. Оно характеризуется отображением z(0 множества Гв множество Z, где Z — множество состояний системы z. Совокупность точек j(eZ, соответствующих в силу данного движения z(t) всем / є Г, называется траекторией этого движения. В таком понимании движение системы охватывает всевозможные формы движения материи. Движение в общем случае происходит вследствие причин, более общих, чем сила. Поэтому в современной интерпретации «динамический» означает причинный.
Таким образом, под динамической системой понимается объект, находящийся в каждый момент времени t (из множества 7) в одном ИЗ ВОЗМОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ Zt (из множества Z) и способный переходить (во времени) из одного состояния в другое под действием внешних и внутренних причин (совершая при этом движение z(t) ).
Чтобы учесть внешние причины, необходимо рассмотреть взаимодействие динамической системы с внешней средой. Оно осуществляется посредством воздействий внешней среды на динамическую систему и динамической системы на внешнюю среду. Такого рода воздействия принято называть сигналами, а процесс взаимодействия динамической системы с внешней средой рассматривать в рамках механизма обмена сигналами.
Входной сигнал х(, поступающий из внешней среды в динамическую систему в момент t, характеризуется координатами хj, xj, • ■., хт и является элементом множества X входных сигналов. Аналогично 158
выходной сигнал yt, поступающий из системы во внешнюю среду в момент t, описывается координатами У,У2,—,УГ и является элементом множества Yвыходных сигналов динамической системы.
Динамическая система (в широком смысле) как математический объект содержит в своем описании механизмы:
1) изменения состояний под действием внутренних причин (без вмешательства внешней среды);
2) приема входного сигнала и изменения состояний под действием этого сигнала;
3) формирования выходного сигнала (как реакции динамической системы на внутренние и внешние причины изменения состояний).
Обычно эти механизмы описываются так называемыми операторами переходов Н (в новое состояние) и выходов G, реализующими отображения
Н: TxZxX-*Z,
G: TxZxX-*Y.
Однако такое задание динамической системы оказывается слишком общим и недостаточно определенным (пока на рассматриваемые множества и операторы не накладываются никакие ограничения).
Для формального описания элементов сложной системы целесообразно использовать математическую схему динамической системы в широком смысле, в том числе стохастической, учитывающей действие случайных факторов. Это неизбежно приводит к хорошо развитому аппарату теории случайных процессов. Наибольшее применение для формального описания элементов сложной системы нашел класс так называемых случайных процессов с дискретным вмешательством случая.
Процесс функционирования динамической системы с дискретным вмешательством случая состоит из перемещений точки zt внутри области Z, перемежаемых скачками состояний при выходе на границу и поступлении входных сигналов.
Чтобы задать конкретный пример общей динамической системы с дискретным вмешательством случая, необходимо указать:
• уравнения границы области Z;
• уравнения движения точки zt внутри области Z;
• соотношения для расчета распределения вероятностей скачка состояния при выходе на границу;
• соотношения для расчета координат выходных сигналов;
• соотношения для расчета распределения вероятностей скачка состояния при поступлении входного сигнала.
Эти уравнения и соотношения называют характеристиками общей динамической системы с дискретным вмешательством случая.
Важным обстоятельством является возможность выбора характеристик динамической системы (уравнений и соотношений) из заданных классов аналитических выражений. Например, уравнения можно выбрать линейными, вероятности скачков не зависящими от предыстории и т. д. В этом случае (при фиксированных типах характеристик) динамическая система полностью определяется набором числовых параметров. Возможность описания динамической системы набором числовых параметров создает исключительные удобства для ее применения в качестве математической модели сложной системы.
Общая динамическая система с дискретным вмешательством случая может служить математической моделью для исключительно широкого класса объектов материального мира, являющихся элементами сложных систем. Для этого достаточно, чтобы данный объект по условиям зацачи требовал описания в виде динамической системы и, кроме того, была проведена его специфическая формализация. С практической точки зрения даже дискретность вмешательства случая не является существенным ограничением общности модели.
В самом деле, обратимся к одному из факторов, заметно испытывающих влияние дискретности. Пусть входной сигнал является распределением во времени и задается на интервале времени (to, t) непрерывной функцией x(t) (входной процесс). С достаточной для практики точностью функцию x(t) можно представить в виде некоторой кусочно-постоянной (ступенчатой) функции, меняющей свои значения через заранее заданные равные промежутки времени (квантование сигнала). Весь входной процесс х(() на интервале (($,() отнесем теперь К единственному моменту времени to (или любому другому из упомянутого интервала) и будем рассматривать как дискретный сигнал, поступающий в момент и имеющий в качестве координат числа, описывающие величины ступенек кусочно-постоянной функции. Легко видеть, что переход к дискретным сигналам (в пределах требуемой точности) изменяет лишь форму задания информации о входном сигнале, и не затрагивает сути дела.
Если для решения соответствующих задач имеет значение гладкость функции x(t), механизм приема сигнала данной динамической системы необходимо снабдить алгоритмом сглаживания (например, представления функции x(t) в виде интерполяционного полинома).
Аналогичные рассуждения можно привести и относительно других факторов, связанных с проблемой дискретности вмешательства случая. Ведь описание динамической системы, построенной по данным эксперимента, всегда является приближенным.
Взаимодействие элементов в сложной системе. Под взаимодействием элементов сложной системы понимают режим совместного функционирования элементов, при котором поведение или свойства одного элемента в общем случае зависят от условий, определяемых поведением или свойствами других элементов. Взаимодействие представляется как результат влияний, оказываемых элементами сложной системы друг на друга.
Пусть рассматривается система 5, состоящая из элементов С,С2,—,См. Влияние элемента Cj системы S на элемент Ск той же системы определяется сигналами, поступающими от элемента Су к элементу Cfc Выходной сигнал элемента Ср сформированный с учетом условий функционирования этого элемента, трансформируется, вообще говоря, при передаче его по реальному каналу связи и поступает к элементу Ск в качестве входного сигнала, вызывающего изменение поведения этого элемента.
При формализации взаимодействия элементов сложной системы обычно придерживаются предположения, согласно которому взаимодействие достаточно полно и точно описывается в рамках механизма обмена сигналами. Поэтому для формального описания взаимодействия элементов Cj и Ск сложной системы достаточно иметь следующие четыре модели:
1) формирования выходного сигнала элемента Ср
2) сопряжения элементов сетью каналов связи, обеспечивающих передачу сигналов между ними;
3) трансформации сигнала в процессе прохождения через реальный канал связи;
4) приема входного сигнала и поведения элемента Ск под воздействием этого сигнала.
Для того чтобы модель трансформации сигнала в процессе его передачи по каналу связи с достаточной точностью отражала реальные условия прохождения сигнала через канал (перекодирование, селекцию, запаздывание, искажения, сбои, помехи и т. д.), обычно реальные каналы связи, а также кодирующие и селектирующие устройства рассматривают как самостоятельные элементы сложной системы. Эти элементы описывают динамическими системами с соответствующими характеристиками (формализованный канал), моделирующими процесс трансформации. Тогда процесс трансформации превращается в процесс функционирования динамической системы (формализованного канала), на вход которой поступает выходной сигнал элемента Ср а с выхода — выдается входной сигнал элемента Ск.
Необходимо отметить, что теоретические и экспериментальные исследования процессов трансформации сигналов при прохождении их через каналы связи различных типов (которые дают исходные сведения для формального описания каналов как динамических систем) относятся не к методике моделирования сложных систем, а представляют собой, скорее, предмет теории передачи сообщений и тех конкретных областей техники, к которым относятся рассматриваемые сложные системы.
Остается последняя модель — модель сопряжения элементов сложной системы с сетью идеальных каналов связи, обеспечивающих передачу сигналов между элементами. Эта модель отражает структурный аспект взаимодействия элементов такой системы в процессе ее функционирования. С практической же точки зрения цель построения модели сопряжения состоит в том, чтобы каждому сигналу, поступающему из внешней среды или возникающему как выходной сигнал элемента системы, указать адрес, по которому он должен поступить как входной сигнал элемента системы или объекта внешней среды.