Формализация сложной системы

Изучение процессов функционирования крупных производственных, энергетических и других сложных технических комплексов с автома­тизированным управлением, систем обработки информации и управ­ления, создаваемых на базе автоматики, электроники и вычисли­тельной техники, обусловило возникновение понятия сложной системы и привело к постановке целого ряда специфических проблем математического и технического характера, привлекающих в после­дние годы внимание широкого круга исследователей.

Для понимания принципов формализации сложных систем и сущ­ности их имитационного моделирования рассмотрим суть понятия сложной системы и сформулируем их основные отличительные при­знаки.

Понятие сложной системы. Концепция сложной системы состо­ит в следующем:

• рассматриваемая система (объект материального мира) может быть расчленена (необязательно единственным образом) на ко­нечное число частей, называемых подсистемами сложной сис­темы; каждая подсистема в свою очередь может быть расчлене­на на конечное число более мелких подсистем и т. д. — до получения в результате конечного числа шагов таких частей, называемых элементами сложной системы, относительно кото­рых имеется договоренность, что в условиях данной задачи они не подлежат дальнейшему расчленению на части;

• элементы сложной системы функционируют не изолированно друг от друга, а во взаимодействии, при котором свойства од­ного элемента в общем случае зависят от условий, определяет мых поведением других элементов;

• свойства сложной системы в целом определяются не только свой­ствами элементов, но и характером взаимодействия между эле­ментами.

Рассмотрение изучаемого объекта материального мира как систе­мы, состоящей из взаимодействующих элементов, построение мате­матической модели для него и исследование его свойств методом мо­делирования составляет сущность системного подхода, а совокупность методов и приемов исследования входит в арсенал самостоятельного научного направления, получившего название системный анализ.

Понятие сложной системы интуитивно ассоциируется с объек­том, состоящим из большого числа элементов и подсистем с развет­вленными многоуровневыми связями и сложным взаимодействием между ними. К сложным системам обычно относят производствен­ные процессы крупных предприятий (в частности, процесс испыта­ний сложных технических систем), автоматизированные системы уп­равления и др.

Для того чтобы задать сложную систему, необходимо (и доста­точно) представить описания всех ее элементов и взаимодействия между элементами. В большинстве случаев характер функциониро­вания сложных систем (за исключением так называемых автономных) зависит от условий внешней среды. Поэтому одной из основных за­дач исследования таких систем является изучение взаимодействия их с внешней средой. Для простоты математического описания удобно представлять внешнюю среду в виде совокупности элементов, анало­гичных элементам системы, с той только разницей, что полная мо­дель поведения этих элементов не требуется. Достаточно задать ее лишь в той части, которая относится к формированию соответствую­щих воздействий на элементы системы.

Использование унифицированного математического описания для элементов системы и объектов внешней среды, а также для взаимо­действия элементов системы между собой и внешней средой способ­ствует упрощению моделей, реализуемых на ЭВМ. Кроме того, по­являются условия для создания единых приемов исследования сложных систем. В связи с этим в области имитационного моделирования на первый план выдвигается разработка унифицированных моделей и типичных математических схем первичной формализации объектов материального мира, являющихся элементами сложных систем.

Элемент как динамическая система. Все явления и процессы материального мира мы привыкли рассматривать в пространстве и во

времени. В простейшем случае механического движения речь идет о перемещении, которое интерпретируется как изменение положения тела за некоторый интервал времени. Несмотря на естественность таких рассуждений, они уже носят на себе черты формализации. А имен­но, в каждый момент времени t из некоторого множества Т тело на­ходится во вполне определенном положении z, описываемом его ко­ординатами в пространстве. В рассматриваемом случае перемещение является переходом тела из одного положения в другое. Разность ti -1 есть время перехода. В механике перемещение происходит под дей­ствием сил, т. е. носит динамический характер.

Эта концепция в основных своих чертах верна и за пределами механики. В настоящее время она понимается очень широко. Вмес­то «положение» говорят «состояние»: zt — состояние системы в мо­мент t. В электротехнике характеристикой состояния системы может служить величина тока или напряжения в цепи, в термодинамике — температура тела или количество выделяемого тепла. В современной системотехнике состояние системы z, может характеризоваться доста­точно большим числом «координат»: zt = (zi, Z2>—>zn) ■

Вместо «перемещение» говорят «движение». Движение является переходом системы из одного состояния в другое. Оно характеризу­ется отображением z(0 множества Гв множество Z, где Z — множе­ство состояний системы z. Совокупность точек j(eZ, соответству­ющих в силу данного движения z(t) всем / є Г, называется траекторией этого движения. В таком понимании движение системы охватывает всевозможные формы движения материи. Движение в общем случае происходит вследствие причин, более общих, чем сила. Поэтому в современной интерпретации «динамический» означает причинный.

Таким образом, под динамической системой понимается объект, находящийся в каждый момент времени t (из множества 7) в одном ИЗ ВОЗМОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ Zt (из множества Z) и способный перехо­дить (во времени) из одного состояния в другое под действием вне­шних и внутренних причин (совершая при этом движение z(t) ).

Чтобы учесть внешние причины, необходимо рассмотреть взаи­модействие динамической системы с внешней средой. Оно осуще­ствляется посредством воздействий внешней среды на динамическую систему и динамической системы на внешнюю среду. Такого рода воздействия принято называть сигналами, а процесс взаимодействия динамической системы с внешней средой рассматривать в рамках механизма обмена сигналами.

Входной сигнал х(, поступающий из внешней среды в динами­ческую систему в момент t, характеризуется координатами хj, xj, • ■., хт и является элементом множества X входных сигналов. Аналогично 158

выходной сигнал yt, поступающий из системы во внешнюю среду в момент t, описывается координатами У,У2,—,УГ и является элемен­том множества Yвыходных сигналов динамической системы.

Динамическая система (в широком смысле) как математический объект содержит в своем описании механизмы:

1) изменения состояний под действием внутренних причин (без вмешательства внешней среды);

2) приема входного сигнала и изменения состояний под действи­ем этого сигнала;

3) формирования выходного сигнала (как реакции динамичес­кой системы на внутренние и внешние причины изменения состоя­ний).

Обычно эти механизмы описываются так называемыми операто­рами переходов Н (в новое состояние) и выходов G, реализующими отображения

Н: TxZxX-*Z,

G: TxZxX-*Y.

Однако такое задание динамической системы оказывается слиш­ком общим и недостаточно определенным (пока на рассматриваемые множества и операторы не накладываются никакие ограничения).

Для формального описания элементов сложной системы целесо­образно использовать математическую схему динамической системы в широком смысле, в том числе стохастической, учитывающей дей­ствие случайных факторов. Это неизбежно приводит к хорошо разви­тому аппарату теории случайных процессов. Наибольшее примене­ние для формального описания элементов сложной системы нашел класс так называемых случайных процессов с дискретным вмешатель­ством случая.

Процесс функционирования динамической системы с дискрет­ным вмешательством случая состоит из перемещений точки zt внут­ри области Z, перемежаемых скачками состояний при выходе на гра­ницу и поступлении входных сигналов.

Чтобы задать конкретный пример общей динамической системы с дискретным вмешательством случая, необходимо указать:

• уравнения границы области Z;

• уравнения движения точки zt внутри области Z;

• соотношения для расчета распределения вероятностей скачка состояния при выходе на границу;

• соотношения для расчета координат выходных сигналов;

• соотношения для расчета распределения вероятностей скачка состояния при поступлении входного сигнала.

Эти уравнения и соотношения называют характеристиками об­щей динамической системы с дискретным вмешательством случая.

Важным обстоятельством является возможность выбора характе­ристик динамической системы (уравнений и соотношений) из задан­ных классов аналитических выражений. Например, уравнения можно выбрать линейными, вероятности скачков не зависящими от предыс­тории и т. д. В этом случае (при фиксированных типах характеристик) динамическая система полностью определяется набором числовых па­раметров. Возможность описания динамической системы набором числовых параметров создает исключительные удобства для ее приме­нения в качестве математической модели сложной системы.

Общая динамическая система с дискретным вмешательством слу­чая может служить математической моделью для исключительно ши­рокого класса объектов материального мира, являющихся элемента­ми сложных систем. Для этого достаточно, чтобы данный объект по условиям зацачи требовал описания в виде динамической системы и, кроме того, была проведена его специфическая формализация. С прак­тической точки зрения даже дискретность вмешательства случая не является существенным ограничением общности модели.

В самом деле, обратимся к одному из факторов, заметно испы­тывающих влияние дискретности. Пусть входной сигнал является рас­пределением во времени и задается на интервале времени (to, t) не­прерывной функцией x(t) (входной процесс). С достаточной для практики точностью функцию x(t) можно представить в виде некото­рой кусочно-постоянной (ступенчатой) функции, меняющей свои значения через заранее заданные равные промежутки времени (кван­тование сигнала). Весь входной процесс х(() на интервале (($,() отнесем теперь К единственному моменту времени to (или любому другому из упомянутого интервала) и будем рассматривать как диск­ретный сигнал, поступающий в момент и имеющий в качестве координат числа, описывающие величины ступенек кусочно-посто­янной функции. Легко видеть, что переход к дискретным сигналам (в пределах требуемой точности) изменяет лишь форму задания ин­формации о входном сигнале, и не затрагивает сути дела.

Если для решения соответствующих задач имеет значение глад­кость функции x(t), механизм приема сигнала данной динамической системы необходимо снабдить алгоритмом сглаживания (например, представления функции x(t) в виде интерполяционного полинома).

Аналогичные рассуждения можно привести и относительно дру­гих факторов, связанных с проблемой дискретности вмешательства случая. Ведь описание динамической системы, построенной по дан­ным эксперимента, всегда является приближенным.

Взаимодействие элементов в сложной системе. Под взаимодей­ствием элементов сложной системы понимают режим совместного функционирования элементов, при котором поведение или свойства одного элемента в общем случае зависят от условий, определяемых поведением или свойствами других элементов. Взаимодействие пред­ставляется как результат влияний, оказываемых элементами сложной системы друг на друга.

Пусть рассматривается система 5, состоящая из элементов С,С2,—,См. Влияние элемента Cj системы S на элемент Ск той же системы определяется сигналами, поступающими от элемента Су к элементу Cfc Выходной сигнал элемента Ср сформированный с уче­том условий функционирования этого элемента, трансформируется, вообще говоря, при передаче его по реальному каналу связи и посту­пает к элементу Ск в качестве входного сигнала, вызывающего изме­нение поведения этого элемента.

При формализации взаимодействия элементов сложной системы обычно придерживаются предположения, согласно которому взаи­модействие достаточно полно и точно описывается в рамках механиз­ма обмена сигналами. Поэтому для формального описания взаимо­действия элементов Cj и Ск сложной системы достаточно иметь следующие четыре модели:

1) формирования выходного сигнала элемента Ср

2) сопряжения элементов сетью каналов связи, обеспечивающих передачу сигналов между ними;

3) трансформации сигнала в процессе прохождения через реаль­ный канал связи;

4) приема входного сигнала и поведения элемента Ск под воздей­ствием этого сигнала.

Для того чтобы модель трансформации сигнала в процессе его передачи по каналу связи с достаточной точностью отражала реаль­ные условия прохождения сигнала через канал (перекодирование, селекцию, запаздывание, искажения, сбои, помехи и т. д.), обычно реальные каналы связи, а также кодирующие и селектирующие уст­ройства рассматривают как самостоятельные элементы сложной сис­темы. Эти элементы описывают динамическими системами с соот­ветствующими характеристиками (формализованный канал), моде­лирующими процесс трансформации. Тогда процесс трансформа­ции превращается в процесс функционирования динамической сис­темы (формализованного канала), на вход которой поступает вы­ходной сигнал элемента Ср а с выхода — выдается входной сигнал элемента Ск.

Необходимо отметить, что теоретические и экспериментальные исследования процессов трансформации сигналов при прохождении их через каналы связи различных типов (которые дают исходные све­дения для формального описания каналов как динамических систем) относятся не к методике моделирования сложных систем, а пред­ставляют собой, скорее, предмет теории передачи сообщений и тех конкретных областей техники, к которым относятся рассматривае­мые сложные системы.

Остается последняя модель — модель сопряжения элементов слож­ной системы с сетью идеальных каналов связи, обеспечивающих пере­дачу сигналов между элементами. Эта модель отражает структурный аспект взаимодействия элементов такой системы в процессе ее функ­ционирования. С практической же точки зрения цель построения мо­дели сопряжения состоит в том, чтобы каждому сигналу, поступаю­щему из внешней среды или возникающему как выходной сигнал элемента системы, указать адрес, по которому он должен поступить как входной сигнал элемента системы или объекта внешней среды.