Основные принципы построения математических моделей

Рассмотрим основные принципы построения математических моде­лей, не касаясь пока вопросов формализации физических процессов в математическом плане. Применительно к СТС моделирование чаще всего начинается с построения концептуальных моделей и изучения статистических данных, определяющих вход и выход системы. Пос­леднее применяется в тех случаях, когда внутренняя структура про­межуточных процессов мало исследована и не ясна или не поддается аналитическому выражению. Задачи такого плана часто встречаются на практике и получили символическое название задач «черного ящи­ка». С точки зрения изложения самих принципов построения матема­тических моделей необходимо отметить следующее.

Общим элементом для всех принципов является определение со­става значимых факторов, влияющих на исследуемый процесс. Ис­пользование того или иного принципа обусловлено степенью слож­ности системы или исследуемого процесса и глубиной раскрытия внутренних связей. Существует несколько принципов построения ма­тематических моделей, но использование из них того или иного оп­ределяется прежде всего наличием априорной информации, степе­нью понимания физических особенностей исследуемых процессов, знанием и оценкой предполагаемых функциональных связей между элементами системы и т. п. Рассмотрим основные принципы пост­роения математических моделей сложных технических систем.

Иерархический принцип построения математических моделей СТС. Основная трудность, с которой приходится сталкиваться при разра­ботке математических моделей СТС, заключается в преодолении про­тиворечия между требованием возможно большей простоты описа­ния (без него трудно понять и решить задачу) и необходимостью учета многочисленных параметров, закономерностей, ограничений и вза­имосвязей, определяющих работу системы. Сложную техническую систему практически невозможно полно и детально описать в рамках единой математической модели. Поэтому при описании таких сис­тем обычно используется модульный принцип, предусматривающий разработку не одной, а семейства взаимосвязанных и взаимодейству­ющих между собой моделей.

Использование единой модели СТС нецелесообразно и по мето­дическим соображениям. Различные части системы (подсистемы) изучены в разной степени, поэтому их математические описания об­ладают разной точностью, а непрерывное накопление физической информации приводит к систематическому совершенствованию опи­саний отдельных элементов. При использовании единой модели точ­ность моделирования целиком определяется точностью описания наи­менее изученных подсистем, а любая новая информация требует полной переделки модели. Разумеется, переход к модульному опи­санию сам по себе не приведет к увеличению точности. Однако в этом случае появляется возможность более достоверного моделирова­ния, по крайней мере некоторых из подсистем. Изменение пред­ставлений об отдельных процессах или элементах системы при мо­дульном описании не требует полной переделки модели и затрагивает лишь отдельные ее модули.

Таким образом, применение модульного принципа при описа­нии СТС позволяет:

• разрешить проблему больших объемов информации за счет рас­пределения ее между отдельными блоками модели;

• «развязать» изучение отдельных подсистем между собой, так как каждый из модулей модели может быть исследован в квази — автономном режиме.

Вместе с тем переход к системе моделей приводит к необходимо­сти исследования связывающих их взаимодействий. Возникает зада­ча координации подсистем и их моделей между собой.

Наиболее эффективные результаты при описании и изучении сложных систем дает иерархический подход, предусматривающий раз­биение системы на вертикально соподчиненные подсистемы разных уровней, разработку модульных моделей каждой из подсистем, вве­дение приоритетов (т. е. права преимущества) для подсистем стар­ших уровней по отношению к подсистемам младших уровней, извес­тную автономность каждой из подсистем. Поскольку каждая из подсистем в свою очередь может быть разбита на новые подсистемы, возникает многоуровневая иерархическая система моделей (рис. 4.3).

Реальный процесс Рис. 4.3. Уровни иерархического описания СТС

При иерархическом описании СТС на верхних уровнях рассмат­риваются их общие характеристики, а на нижних — характеристики отдельных узлов и элементов. Очевидно, изучение СТС на каждом из уровней требует специфических знаний и методов и зачастую ведется специалистами различного профиля.

На каждом уровне описания вводится свой набор переменных, принципов и представлений, позволяющий в значительной степени ограничиться изучением только этого уровня. При этом наблюдается известная асимметрия представлений. Понимание физических про­цессов и точность описания объекта растут с переходом к нижним уровням иерархии. Общие же цели и задачи функционирования сис­темы, ее место в материальном мире более полно раскрываются на верхних уровнях.

Принцип установления причинно-следственных связей. Построе­ние математической модели ведется на основе логики установления причинно-следственных связей между управляемыми и неуправляе­мыми факторами. Практическое использование данного принципа можно показать на следующем примере.

Допустим, что для работы испытательного стенда регулярно за­казывается Nx тонн жидкого кислорода. Неизрасходованный в тече­ние рабочего цикла компонент практически испаряется. При этом затраты на каждую реализованную тонну компонента составляют Сх, а затраты на неиспользованную — С2. В свою очередь потребное количество кислорода, которое может израсходовать испытательный стенд, составляет N2 тонн. Помимо этого существует условие, что NXZN2. Вероятность того, что в случайно выбранное время факти­ческие потребности стенда составляют N2 тонн, равна P(N2). Тре­буется установить, какова взаимосвязь между перечисленными фак­торами и суммарными затратами D.

Модель исследуемого процесса может быть построена на основе простейшего анализа. Управляемым фактором в данном случае сле­дует считать количество ввозимого кислорода Nx. Выходная характе­ристика D — критерий качества функционирования стенда при усло­вии, что исключены нерациональные потери, проливы и т. п.

Если в какое-либо время потребности стенда в кислороде превы­шают заказанное количество (N2 > Nx), то суммарные затраты со­ставят

DN2>NX =ncv

Если же потребности стенда в кислороде не превышают заказан­ное количество (Л^ > N2), то затраты будут равны

Dnx>n2 = N2(Cx-C2) + NxC2.

Ожидаемые затраты в один рабочий цикл

N.

D= X P(N2)[N2{Cx-C2)+NxC2]+ X P(N2)NxCx.

N2=Q Nx+1

Для его решения необходимо задать вид функции распределения вероятности P(N2) при изменении N2 в пределах от нуля до беско­нечности (0 < N2 < оо). К числу таких распределений можно отнести нормальный закон, распределение Вейбулла и другие статистичес­кие распределения. В случае необходимости вид функции вероятно­сти достаточно точно может быть определен путем обработки пред­шествующей информации. Конечной целью решения поставленной задачи следует считать оптимизацию выходной характеристики моде­ли для отыскания условий, обеспечивающих минимизацию финан­совых затрат стенда на потребление жидкого кислорода.

Принцип использования однофакторных экспериментов. Зачастую причинно-следственные связи между выходным качеством процесса и значимыми факторами в функциональном виде неизвестны. Данный принцип позволяет получить некоторые математические зависимости с помощью простейших экспериментов. Проиллюстрируем сказанное на примере реализации двух схем, представленных на рис. 4.4.

Схема на рис. 4.4, а позволяет установить форму связи для ли­нейных эффектов, зависящих от отдельных факторов. В этом случае выборочно могут быть реализованы некоторые однофакторные экс­перименты. Число экспериментов, порядок их проведения и про­грамму испытаний устанавливают интуитивно или путем экспертного опроса.

Рис. 4.4. Принцип использования однофакторных экспериментов для определения вида модели

В соответствии со схемой на рис. 4.4, б для линейного эффекта у(хп) управляемым фактором является хп. С практической точки зре­ния такие эксперименты могут быть завершающими для какой-либо экспериментальной программы, проводимой в соответствии с пла­ном отработки.

Полученные результаты отработки определенной системы уста­навливают частные зависимости. Каждая из зависимостей характе­ризуется соответствующей формой связи — экспоненциальной, сте­пенной, линейной и т. п. В итоге установленные частные зависимости могут быть введены в общее уравнение вида

У f (-4 ? *2 5 • • • > ) >

но с соответствующими весовыми коэффициентами. Если для отдель­ных факторов установленные формы связи имеют вид УІхі) = bXjф(х/), тогда в общем случае многомерная функция отклика может быть пред­ставлена для /1-го числа факторов суммой частных функций:

п

У(х) = ‘Z, bXj<p(xi).

/=1

Если этого окажется недостаточно, тогда может быть аналогич­ным образом реализована схема, представленная на рис. 4.4, б, по­зволяющая установить частные формы связи для взаимодействий фак­торов и их эффектов. Такие факторы вводятся в эксперименты попарно и группами по известным исследователю соображениям. Творчество и инициатива в данном случае являются одним из главных атрибутов качества разрабатываемой модели.

Принцип эмпирико-статистических исследований. Принцип можно назвать эмпирико-статистическим, если для определения формы связи при оценке влияния линейных факторов и их взаимодействий на вы­ходную характеристику используются статистические данные в виде априорной информации.

Результаты статистических исследований в некоторых случаях сле­дует дополнить проведением отдельных экспериментов. В остальных вариантах повторяется принцип использования однофакгорных экс­периментов.

Принцип математической аппроксимации. В качестве аппрокси­мирующих функций при реализации данного принципа для обеспече­ния выбора рациональной формы связи априори принимаются ранее апробированные виды моделей. К таковым могут быть отнесены по­линомы первой, второй и реже третьей степеней, дифференциаль­ные и интегральные уравнения, линейные, степенные, экспонен­циальные и другого рода математические зависимости. Принцип аппроксимации широко применяется при решении частных задач с помощью так называемых моделей «черного ящика».

Данный метод является одним из наиболее часто встречающихся методов формализации исследуемых процессов, когда их описание с помощью аналитических моделей вызывает серьезные трудности. Определение вида модели, как правило, осуществляется путем пере­бора нескольких видов апроксимирующих функций, с помощью ко­торых делается попытка увязать наиболее рациональным образом «вход» процесса с его «выходом». При этом в качестве оптимального на­правления тренда функции принимается вектор, проходящий через максимально возможное число точек реализаций.

Множественная регрессия является одним из методов практичес­кого развития рассматриваемого принципа.

Принцип аналитических исследований. Математическая модель исследуемого процесса устанавливается на основании использования соответствующих законов физики, химии и других прикладных наук, описывающих происходящие процессы. В данном случае модель и программа дополняются соответствующей логической подмоделью, которая включает в расчет или исключает из него определенную сис­тему уравнений в соответствующие моменты времени, вводит огра­ничения на параметры и т. д.

Этот принцип широко применяется на практике при проектиро­вании СТС и конкретно — при выборе основных проектных парамет­ров. Вследствие некоторой идеализации исследуемого процесса с помощью теоретических функций реализуемые аналитические моде­ли не всегда обладают требуемой точностью. Часто из-за сложности математического выражения отдельных функций, описывающих не­которые особенности исследуемого процесса, эти модели сознательно упрощаются, что также ведет к снижению точности исследований.

Существует еще одна особенность аналитических моделей, ис­пользуемая при реализации других принципов. Как правило, анали­тический вид применяемых при моделировании законов и уравнений позволяет заранее определить рациональные формы связей между вход­ными и выходными параметрами процессов.

Принцип уточнения аналитических моделей экспериментальным путем. Реализуемые аналитические модели на практике уточняют по экспериментальным данным, которые в свою очередь используются для повышения точности моделирования. В соответствии с этим можно записать общий вид такой уточненной с помощью экспери­ментов аналитической модели:

Я*) = fa (*1 > *2 > *л ) + 4/І (*1 > *2. •••» Хп ) + Д/г (хл+1, Хп+2,Х„+к ) .

В аппроксимирующей функции данного вида первый член пра­вой части характеризует эффект, определяемый самой аналитичес­кой моделью; второй член — эффект от влияния учтенных факторов путем реализации некоторого числа экспериментов и наконец третий определяет эффект факторов, не учтенных в аналитическом виде мо­дели. Опыт показывает, что использование аналитических методов построения математических моделей, базирующихся на применении физических законов, вносит новый вид информации в разрабатывае­мую модель, что значительно сокращает объем экспериментальных исследований. Этим, собственно, и объясняется рациональность сочетания в одном виде вычислительной программы элементов ана­литической и экспериментальной моделей.

Модели такого вида называют экспериментально-аналитическими. Они с успехом применяются при исследовании динамических про­цессов. Рациональным методом использования данных моделей сле­дует считать их сочетание с логическими моделями, позволяющими наилучшим образом осуществлять цикл вычислительных работ. По мере проведения экспериментальных исследований ряд аналитичес­ких функций, дающих приближенные результаты, заменяются апп­роксимирующими зависимостями, позволяющими повысить точность моделирования.

При исследовании динамических процессов экспериментально­аналитические модели являются эффективным средством для про­гнозирования ряда важных с точки зрения надежности характеристик СТС. По мере накопления экспериментальных данных точность мо­делирования повышается. В этом отношении возможности экспери­ментально-аналитических моделей почти безграничны.