УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ФОРМЕ КОШИ
Линеаризованная математическая модель отражает физику полного собственного пространственного движения самолета. Однако ее практическое использование затруднено, так как аналитическое решение системы дифференциальных уравнений такой высокой размерности сопряжено с известными сложностями. Для того чтобы систему уравнений можно было решать с помощью ЭВМ, ее удобно представить в форме Коши, когда в левой части системы уравнений содержатся только первые производные от переменных, а в правой части линейные комбинации переменных.
Уравнения собственного поступательного движения в форме Коши. Преобразуем уравнения собственного поступательного движения к форме Коши. Поделим в уравнении (2.30) левую и правую части на массу самолета т, а вместо приращения угла наклона траектории Д9 подставим его значение из уравнения (2.47). Тогда уравнение относительно скорости ДУ принимает вид ‘ ‘
ДУ = av 0 Да + av „ До + av v ДУ+ а^р Др + av у Ду. (2.60)
Обозначения для, коэффициентов уравнения av а, aVu, avv, av р, aVy приведены в табл. 6 приложения.
Левую и правую части уравнения (2.31) поделим на произведение массы самолета на скорость в опорном движении mV°. Кроме того, подставим вместо приращения скоростного угла крена Дуа его значение из уравнения
(2.49) : _
Д0 = ае„ Да + ав>уДУ + ае е Д0+ а0 „ Ди+ ае |Др + а9гДу. (2.61)
Обозначения для коэффициентов уравнения а0а, ae v, а0 9, а01), ае р, а9у приведены в табл. 6 приложения.
Левую и правую части уравнения (2.32) поделим на — mV0 cos 9°. Подставим вместо приращения скоростного угла крена Дуа его значение из уравнения (2.49):
46
Д’і* — а^ц Да + и Ди + Sif y ДУ 4- aij/ p Др + ац<у Ду. (2.62)
Обозначения для коэффициентов уравнения а^, а^, а^у, а^р, ач, у приведены в табл. 6 приложения.
В кинематических уравнениях поступательного движения (2.35) и (2.37) введем обозначения aLjV, aL„, aL4,, az? v, a^g, az/p согласно табл. 7 приложения:
Д! — aL у У a^g Д0 + а^ ч< Д*Р; (2.63)
Ai, — aZiV &V + az8 Д0 + aZi4, ДЧУ (2.64)
В кинематическом уравнении (2.36) заменим приращение угла наклона траектории Д9 его значением из уравнения (2.47). Тогда с учетом обозначений аН а, ан „, aHV, ан>у приведенных в табл. 7 приложения, уравнение принимает следующий вид: .
ДН = аН а Да + ан, и Ди + аНЛДУ + аНіТДу. (2.65)
Уравнения собственного вращательного движения в форме Коиш.
Преобразуем систему уравнений (2.41)-(2.43) к форме Коши. Для этого выразим из уравнений (2.41) и (2.42) производную скорости крена Дю,:
Д®х аю^а Да + ао.х AV + До)х Т а№^ ДсОу 4“ ага^р Др. (2.66)
Обозначения для коэффициентов уравнения afflia, affliiy, ara i<v ae a, afflj>p приведены в табл. 8 приложения с учетом обозначений табл. 9 приложения.
Аналогичным образом выразим из уравнений (2.41) и (2.42) производную скорости рыскания ДсЬу:
ДсЬу — аю,,а Да 4- а^у Д^ Т а^^ Д®х Т аш^ Дсоу 4- а^р ДР. (267)
Обозначения для коэффициентов уравнения аю а, am iV, aa v аШ І0, аЮзР приведены в табл. 8 приложения с учетом обозначений табл. § приложения.
Для преобразования уравнения (2.43) к стандартному виду из его правой части необходимо исключить производную Да. Для этого продифференцируем уравнение (2.47) и заменим в нем ДО его выражением из уравнения (2.46). Заменим Дб его выражением из уравнения (2.61), а Ду-его выражением из (2.44). Полученное выражение для Да подставим в уравнение (2.43), поделив левую и правую части на момент инерции Jz:
Д®х а^^ Да)^ 4- а^ ц Да 4" а^у До 4- аю^у ДУ — Ь а^ ^ До>х 4+ аи^ Дюу 4- а^р ДР + affli, y Ду. (2.68)
Обозначения для коэффициентов уравнения aawv аМг>а, аШі ц, а^у, аИіі(0<,
Дй = а^ + 4«v Д“у + au у Ay;
Ay = ayu АО + аї>Ші Acox + аУ|Шу Atoy.
Для получения уравнения относительно производной приращения угла атаки Да продифференцируем уравнение (2.47) и заменим в нем производную приращения угла тангажа АС ее выражением из уравнения (2.46), производную приращения угла наклона траектории АЙ — ее выражением из уравнения (2.61), а производную приращения угла крена-ее выражением из уравнения (2.44):
Да = аа, т< Дю2 + аа аАа + аа и Аи + aa V AV + аа („г Аюх + аа>Шу Аыу +
. + аа, р Др + аау Ау. ’ (2.72)
Обозначения для коэффициентов уравнения аа аа а, аа аа v, аа ш, аа, юу> аа р, аау приведены в табл. 12 приложения.
Для получения уравнения относительно производной приращения угла скольжения А(5 продифференцируем уравнение (2.48) и определим из него Др. Заменим в этом уравнении производную приращения угла пути ДФ ее выражением из уравнения (2.62), производную приращения угла рыскания А|/-ее выражением из уравнения (2.45), производную приращения угла крена Ay-ее выражением из уравнения (2.44) и производную приращения угла тангажа Аи — ее выражением из уравнения (2.46):
Др = аРіШі Acoz + ам Аа + ар „ Аи + ар_у AV + ^ Дсох +
+ аМ; Аюу + ам АР + аРл Ау. (2.73)
Обозначения для коэффициентов уравнения api(0i, ара, а^,,, apv, ар ар m, ap p, аРл приведены в табл. 13 приложения.
Объединим полученные уравнения собственного поступательного и вращательного движения в модель полного собственного пространственного движения в форме Коши:
AV = ay aА ау v Аи + ау у A V + ау /Ар + ay у Ay ;
Дб = а0>а Да + a0iV AV + ае, в А0 + а0 „ Аи + ae_p Ар + ае, у Ау;
А^ а*р ^ Аи + а^ а Аи + a*j* у AV + а>|/ р Ар + а^ /Ау;
AL = aL V AV + aL9 AQ + aL 4, АФ;
Az = azVAV+ а20Ц6 + а^уАФ;
АЙ ^ ^ Aa + aHl) Аи + aHVAV+ aH yAy;
Дй, = аш>а Да + a^y AV + айхіЮ_ Arax + a^ Аюу + аЮі>р АР;
Acoy аш^а Аа + аю^у AV + а^ю,, A(ox + а,^^ До)у + а0у p ДР, д®2 = аШііЧ A(0Z + a^.a Aa + £ „Аи^ AV + a^ _ Дюх +
+ аШі и> A(oy + аЩі>р Др + а^ y Ay;
Av = а¥>Шг Acoz + а¥>1) Аи + a^ Аюу + a¥y Ay;
Ai> = A(0r + а, м% Дюу + а^ у Ду;
Ду = ЧиДо + ау>ш> Аюх + aY(0; Дюу;
Да = ааШг Acoz + ааа Аа + аа() Ди + a0>v AV + а0 Ші Дюх +
+ а«,о>, Дюу + а0>р Д(3 + аал Ду;
АР = ар, ш, Araz + aM Аа + ам Ли + ар v ДУ + ар ^ Дюх +
+ ар, ш, Асоу + ^},р Ар + ар>ї Ду. (2.74)
Уравнения вынужденного движения в форме Коши. Преобразуем систему уравнений линеаризованной математической модели полного пространственного вынужденного движения самолета в форме Коши. Динамические уравнения поступательного движения имеют вид:
Д V av а Аа + ау и Аи + ау у Д Л* + а у уАр + ау *Ду + ay g Д5+
+ av5 Д5У + avspA^p + av, f Af* + av, f А^у + av a Aaw+ avp APW!
. (2.75)
Аб = a0a Да + afljVAV + ам Д0 + ае>1) Ди + а0р Ар + а0л Ду +
+ ае,5ж Д^х + ав,5у Д^у + ае,8Р Д^р + ae, dz A5Z + av, f,Afx +
+ ^,fy Afy + аедг + a9 fi> Aaw + av^ APW; (2-76)
A4* = аір_ a Да + Ну/’ 0 До + а»р у AV — Ь а*р *Др + а^ *Ду 4* а^ ^ Д5*+
+ а»р § A5Z + а^ § Д5Р + а^ ^ Af*+ а»р f Af+ а^ a Да+ а. р р Apw •
" " ‘ " (2.77)
Выражения для коэффициентов уравнений приведены в табл. 14 с учетом обозначений табл. 15 приложения.
Для кинематического уравнения поступательного движения с учетом уравнений (2.65) получим
АН = ан a Да Ди + ан v AV + аНл Ду + % a„ Aaw, (378)
где ан, а = v° COS0°/aa e.
Уравнения (2.63) и (2.64) остаются без изменений.
Динамические уравнения вращательного движения с учетом уравнений (2.66)-(2.68) имеют вид: ‘
А®х асо*,а Да + ao)x, V AV + ао)х, о)х Д^Х + ашх, юу Д®у + агах, р Ар + агаж,5э А^э +
+ аШіЛ Д5Н — f аШх>ті> Дтхв + Aaw + лю^к APW; (2.79)
А®у = асоу, а Аа + arny, V AV + аа>у,(йх A®X + аа>у,(оу Д®у + аюу, р Ар + ашу,5э AS3 +
+ _Д5Н + аш?>тДтув + а Aaw + am?>PwAPw; (2.80)
Д®2 + ашг,1> ^0 + aio,,V + ^ш,,!», ^®х + ашг, шг ^®у 4"
+ ашг р АР + аш,,у Ду + acof,8, + a(i>,, 8,, Д8Х + &Ші,5у Д5у +
4" Ао,,п’.„‘^1Т12» 4" ®<u,,f,^« 4” At,, Г, Д^у 4" аи>,. ~*~ 4"
+ аш„й, Даж + ami, pwApw. (2.81)
Выражения для коэффициентов уравнений (2.79)—(2.81) приведены в табл. 16 и 17 приложения.
Уравнения (2.69)~(2.71) остаются без изменений. Линеаризованные геометрические соотношения (2.72), (2.73) преобразуем к следующему виду:
Да = аа>и> Дюг + аааДа + аа>1) Ди + aa, v ДУ + аа>Их Дсох + аа>0)> Дюу +
+ аа, р Др + аа, у Ду +aa, S,A5x + аа,8уД5у + аа,8Р + aa, f, А** +
+ aa, fx Му + ааЛ Д4 + К, а„ ^aw + ae, aw A4w + аа, pw APW 5 (2.82)
Др = aPi(Bi Дсох + аРіа Да + ам До + ap>v ДУ + aMj До, + аМ; Дсоу +
+ ар, р ДР + ар, у Ду + ар,5, А$у + apig> Д5г + aPifx Afy +
+ ам, Мг + aMw Aaw + aMw Apw + ар,^ Д0* . (2.83)
Коэффициенты уравнений (2.82) и (2.83) приведены в табл. 18 приложения.
Таким образом, линеаризованная математическая модель вынужденного движения самолета в форме Коши содержит уравнения (2.63), (2.64),
(2.69) -(2.71), (2.75)-(2.83).